TSP 问题的几种经典建模方式

最新推荐文章于 2023-06-17 13:45:17 发布

星海浮生

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分类专栏：整数规划组合优化

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关于TSP问题的建模，关键在于子回路的消除，以及模型规模对求解效率的影响。

本文简要介绍几种经典的建模方式。

【1】Dantzig-Fulkerson-Johnson formulation（DFJ）

模型结构：

$\large min \sum_{j \in V} \sum_{j \in V} c_{i, j} \cdot x_{i, j}$

$\large s.t.$

$\large \sum_{i \in V} x_{i, j} = 1 \quad \forall j \in V$

$\large \sum_{j \in V} x_{i, j} = 1 \quad \forall i \in V$

$\large \sum_{i \in S} \sum_{j \in S} x_{i, j} \leq |S| - 1 \quad \forall S \subset V, \space S \neq \varnothing$

$\large x_{i, j} \in \{0,1\} \quad \forall i, j \in V$

分析：约束规模过大，无法求解大规模算例

【2】Miller-Tucker-Zemlin formulation（MTZ）

模型结构：

$\large min \sum_{i \in V} \sum_{j \in V} c_{i, j} \cdot x_{i, j}$

$\large s.t.$

$\large \sum_{i \in V} x_{i, j} = 1 \quad \forall j \in V$

$\large \sum_{j \in V} x_{i, j} = 1 \quad \forall i \in V$

$\large u_{j} \geq u_{i} + n \cdot (x_{i, j} - 1) + 1 \quad \forall i, j \in V \backslash \{0\}$

$\large x_{i, j} \in \{0, 1\} \quad \forall i, j \in V$

$\large u_{i} \in R_{+}^{0} \quad \forall i \in V$

分析：通过增加一组变量，确定点的次序，来消除子回路

【3】Gavish-Graves formulation（GG）

模型结构：

$\large min \sum_{i \in V} \sum_{j \in V} c_{i, j} \cdot x_{i, j}$

$\large s.t.$

$\large \sum_{i \in V} x_{i, j} = 1 \quad \forall j \in V$

$\large \sum_{j \in V} x_{i, j} = 1 \quad \forall i \in V$

$\large \sum_{j \in V, j \neq i} y_{i, j} - \sum_{j \in V \backslash \{0\}, j \neq i} y_{j, i} = 1 \quad \forall i \in V \backslash \{0\}$

$\large y_{i, j} \leq (n - 1) \cdot x_{i, j} \quad \forall i \in V \backslash \{0\} \quad \forall j \in V \quad i \neq j$

$\large x_{i, j} \in \{0, 1\} \quad \forall i, j \in V$

$\large y_{i, j} \in R_{+}^{0} \quad \forall i, j \in V$

分析：通过增加一组变量，确定每两点间的弧的前序弧数，来消除子回路

【4】Gouveia-Pires L3RMTZ formulation（GP）

模型结构：

$\large min \sum_{i \in V} \sum_{j \in V} c_{i, j} \cdot x_{i, j}$

$\large s.t.$

$\large \sum_{i \in V} x_{i, j} = 1 \quad \forall j \in V$

$\large \sum_{j \in V} x_{i, j} = 1 \quad \forall i \in V$

$\large x_{i, j} + v_{i, j} \leq 0 \quad \forall i, j \in V \backslash \{0\}$

$\large x_{i, j} + v_{j, i} \leq 1 \quad \forall i, j \in V \backslash \{0\}$

$\large x_{i, j} + x_{j, i} + v_{k, i} - v_{k, j} \leq 1 \quad \forall i, j, k \in V \backslash \{0\} \quad i \neq j \neq k$

$\large x_{i, j} + x_{i, k} + x_{k, j} + v_{k, i} - v_{k, j} \leq 1 \quad \forall i, j, k \in V \backslash \{0\} \quad i \neq j \neq k$

$\large x_{i, j} \in \{0, 1\} \quad \forall i, j \in V$

$\large v_{i, j} \in R_{+}^{0} \quad \forall i, j \in V$

分析：

1. L3RMTZ 模型要强于 Gouveia 和 Pires 提出的另外几种模型，但该模型推导的原理较为复杂，本文不予介绍；

2. 该模型理论上更好，但实际求解时间更长。

【算例对比】

Gurobi 服务器上进行算例求解的结果：

建模方式	点的数量	求解总时间 / s	得到可行解的时间 / s	gap / %
MTZ	30	1.331	0	0
GG		1.358	0	0
GP		14.572	1	0
MTZ	50	82.641	2	0
GG		3.515	0	0
GP		472.405	7	0
MTZ	100	601.239	24	4.3572
GG		101.054	12	0
GP		607.384	174	33.1285

【参考文献】

Dantzig, G., Fulkerson, R., & Johnson, S. (1954). Solution of a large-scale traveling-salesman problem. Journal of the operations research society of America, 2(4), 393-410.

Miller, C. E., Tucker, A. W., & Zemlin, R. A. (1960). Integer programming formulation of traveling salesman problems. Journal of the ACM (JACM), 7(4), 326-329.

Gavish, B., & Graves, S. C. (1978). The travelling salesman problem and related problems.

Gouveia L, Pires J (1999) The asymmetric travelling salesman problem and a reformulation of the Miller–Tucker–Zemlin constraints. Eur J Oper Res 112:134–146.

Roberti, R., & Toth, P. (2012). Models and algorithms for the asymmetric traveling salesman problem: An experimental comparison. EURO Journal on Transportation and Logistics, 1(1-2), 113-133.