数学建模比赛知识P2---层次分析，Topsis，聚类分析

Matlab编程Part2

前文

评价方法大体分为主观赋权和客观赋权两类。
主观赋权：采取综合咨询评分，包括层次分析法等，所需数据较少。
客观赋权：根据指标间相关关系或指标变异程度确定权数，包括Topsis等。

1.层次分析法

层次分析法(AHP)是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。

步骤

1.建立层次结构模型，将决策问题分为3个或多个层次：
最高层：目标层，通常只有一个总目标。
中间层：准则层，指标层等，表示实现总目标的中间环节。
最低层：方案层，通常有几个方案可选。

2.构造判断（成对比较）矩阵，使用一致矩阵法：
因素之间两两相互比较，每层对比的因素不宜超过9个，判断矩阵元素的标度方法由Santy的1-9标度方法给出

得到以下判断矩阵：

3.层次单排序及其一致性检验
层次单排序：
获得判断矩阵对于最大特征值的特征向量经过归一化（向量中各元素之和为1）后的矩阵$W$。
注：归一化即为每一个数除以所有数的总和
一致性检验：
(1)求出判断矩阵的最大特征根 $\lambda$ 进而求出特征向量（权向量）$\omega$。
(2)由一致性指标公式求出一致性指标($CI$)
$$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}$$
$CI=0$有完全的一致性，$CI$越大，不一致越严重。
(3)通过查表随机一致性指标($RI$)求出一致性比率($CR$)
$$CR=\frac{CI}{RI}$$
如果$CR<0.1$则层次单排序通过一致性检验。

4.层次总排序及其一致性检验
层次总排序：
计算某一层次所有因素对于最高层相对重要性的权值，从最高层到最底层依次进行。

$B$层第$i$个因素对总目标的权值为：$B_i={\sum }_{j=1}^m{a}_j{b}_{ij}$
一致性检验：
将权值转换成判断矩阵并归一化，求出一致性指标$CI$和随机一致性指标$RI$。
设$B$层$B_1,B_2,\cdots ,B_n$对上层（$A$层）中因素$A_j(j=1,2,\cdots ,m)$的层次单排序一致性指标为$C{I}_j$，随机一致性指标为$R{I}_j$，则层次总排序的一致性比率为
$$CR=\frac{a_{1}C{I}_1+\cdots +a_{m}C{I}_m}{a_{1}R{I}_1+\cdots +a_{m}R{I}_m}$$
如果$CR<0.1$则层次总排序通过一致性检验。到此，根据最低层的层次总排序做出决策。

编程实现

这是层次单排序及一致性检验的Matlab代码，可以根据题目进行修改优化为所需代码。

disp('请输入准则层判断矩阵A(n阶)');
A=input('A=');
[n,n]=size(A);
[V,D]=eig(A);%求得特征向量和特征值
            %求出最大特征值和它所对应的特征向量
tempNum=D(1,1);
pos=1;
for h=1:n
    if D(h,h)>tempNum
        tempNum=D(h,h);
        pos=h;
    end
end    
w=abs(V(:,pos));
w=w/sum(w);
t=D(pos,pos);
disp('准则层特征向量w=');disp(w);disp('准则层最大特征根t=');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 1.60 1.61 1.615 1.62 1.63];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
    disp('此矩阵的一致性可以接受!');
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('CR=');disp(CR);
else disp('此矩阵的一致性验证失败，请重新进行评分!');
end

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2.Topsis（理想解法）

Topsis是一种多指标评价方法，构造正理想解和负理想解，即最优解和最劣解，通过计算方案到理想方案的贴近度对方案进行排序。

步骤

1.求出规范决策矩阵
设多属性决策问题的决策矩阵为$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，变换后的决策矩阵为$B=(b_{ij}{)}_{m\times }$