P3158 [CQOI2011]放棋子 [动态规划]

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博客探讨了CQOI2011中放棋子问题的解决方案，使用动态规划方法进行求解。通过F[i,j,k]表示前k种棋子占据i行j列的方案数，g[i,j,k]表示k个棋子占据i行j列的合法方案数，通过递推公式分别计算这两个量。最后介绍了具体的实现部分。" 84346569,8194746,C语言编程练习题解析,"['C语言', '编程题', '算法', '数据结构']

$放棋子$

题目描述见链接 .

$\color{red}{正解部分}$

每个棋子都可以占据一行和一列, 且同一行同一列不能出现相同的棋子, 考虑一个一个棋子放不如考虑一种一种棋子放 ,

设 $F [i, j, k]$ 表示前 $k$ 种棋子占据了 $i$ 行 $j$ 列的方案数, $g [i, j, k]$ 表示 $k$ 个棋子占据 $i$ 行 $j$ 列的方案数,

则 $\sum\limits_{l=0}^{i-1} \sum\limits_{r=0}^{j-1} F[l, r, k-1] \begin{pmatrix} N-l \\ i-l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} M-r \\ j-r \end{pmatrix} g[i-l, j-r, a[k]]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (i-l)(j-r) \le a[k]$

$g [i, j, k]$ 使用容斥递推, 使用总方案数减去填不满的方案数即为合法方案数 .

$\begin{pmatrix} i\times j \\ k \end{pmatrix} - \sum\limits_{l=1}^i \sum\limits_{r=1}^j g[l, r,k] \begin{pmatrix} i \\ l \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j \\r \end{pmatrix}$

注意 $g [i, j, k]$ 转移时要避免从自身转移过来, 即 $l$ $r$ 不能同时等于 $i$ $j$ .

$\color{red}{实现部分}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 35;
const int mod = 1e9 + 9;

int N;
int M;
int K;
int Mx;
int a[maxn];
int F[maxn][maxn][maxn];
int g[maxn][maxn][maxn];
int C[maxn*maxn][maxn*maxn];

int main(){
	scanf("%d%d%d", &N, &M, &K); 
        for(reg int i = 1; i <= K; i ++) scanf("%d", &a[i]);
        C[0][0] = 1;
        for(reg int i = 1; i <= N*M; i ++){
                C[i][0] = 1;
                for(reg int j = 1; j <= i; j ++) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % mod;
        }
        F[0][0][0] = 1;
        for(reg int k = 1; k <= K; k ++)
                for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                        for(reg int j = 1; j <= M; j ++){
                                if(i*j < a[k]) continue ;
                                int &t = g[i][j][k]; t = C[i*j][a[k]];
                                for(reg int l = 1; l <= i; l ++)
                                        for(reg int r = 1; r <= j; r ++){
                                                if(l == i && r == j) continue ;
                                                t = (t - 1ll*g[l][r][k]*C[i][l]%mod*C[j][r]%mod + mod) % mod;
                                        }
                        }
        for(reg int k = 1; k <= K; k ++)
                for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                        for(reg int j = 1; j <= M; j ++)
                                for(reg int l = 0; l < i; l ++)
                                        for(reg int r = 0; r < j; r ++){
                                                if((i-l)*(j-r) < a[k]) continue ;
                                                int &t = F[i][j][k];
                                                t = (t + 1ll*F[l][r][k-1]*C[N-l][i-l]%mod*C[M-r][j-r]%mod*g[i-l][j-r][k]) % mod;
                                        }
        int Ans = 0;
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                for(reg int j = 1; j <= M; j ++) Ans = (Ans + F[i][j][K]) % mod;
        printf("%d\n", Ans);
	return 0;
}