2021.05.13字典序第k小数字

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#算法 #java #蓝桥杯

本文介绍了一种高效算法，用于寻找1到n范围内字典序第k小的数字。通过构建十叉搜索前缀树并采用递归策略，解决了如何计算特定前缀下的子节点数量问题，进而迭代确定目标数字。

2021.05.13字典序第k小数字

（题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/k-th-smallest-in-lexicographical-order/）

题目描述

给定整数 n 和 k，找到 1 到 n 中字典序第 k 小的数字。

数据规模和约定

1 ≤ k ≤ n ≤ 10^9。

思路

搜索第k小数字时可以构造一个“十叉搜索前缀树”，如下图：

在这里插入图片描述

我们可以发现 ①这个十叉搜索树是一个完全十叉树，但不是一个满十叉树，其最后一个节点即为n。②前序遍历1，10，101，102…即为其按照字典序升序排列的顺序。
为求解该问题，我们需要解决三个子问题：

子问题1：如何找到一个前缀下所有子节点的个数？
可以发现，如果是满二叉树，那么同一层前缀下的子节点个数是相等的：

在这里插入图片描述

所以可以采取如下策略，即cur从10开始遍历，next从11开始遍历，如果没有到达底部（即cur < n），那么往下一层遍历，即cur*=10, next *= 10，10前缀下的子节点个数为110-100 = 10; //cur为遍历过程中指定prefix下的cur根节点。

子问题2和3：如果第k个数在当前前缀下，那么我们该如何遍历到它？如果第k个数不在当前前缀下，我们又该如何继续遍历？

如果第k个数在当前前缀的子树中，那么往下一层进行遍历，否则进入当前层的下一前缀树进行搜索。依次迭代。

代码

	public int findKthNumber(int n, int k) {
		int cur = 1;
		int prefix = 1;
		while(cur < k) {
			int tmp = count(n,prefix);
			if(tmp + cur > k) { //res在此节点下
				prefix *= 10;
				cur++;
			} else { //res不在此节点下
				cur += tmp;
				prefix++;
			}
		}
		
		return prefix;
    }
	
	//返回当前前缀为根的子节点个数
	int count(int n, int prefix) {
		long cur = prefix;
		long next = cur+1;
		int cnt = 0;
		while(cur <= n) {
			cnt += Math.min(n+1, next)-cur;
			next *= 10;
			cur *= 10;
		}
		return cnt;
	}