ARC147E Examination

doctorZ_

已于 2022-09-09 22:33:23 修改

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分类专栏：贪心文章标签：算法

于 2022-09-06 16:18:26 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Z_Y_S_/article/details/126727481

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该博客探讨了一种算法问题，涉及在给定一组元素Ai和Bi的情况下，通过交换操作使得Ai始终大于等于Bi。问题转化为寻找最小合法子集SSS，并通过贪心策略进行元素重排。文章介绍了判断子集是否存在解的条件，并提供了O(nlogn)复杂度的解决方案，最终实现找到满足条件的最少操作次数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定 $Ai,Bi,i∈[1,n]A_i,B_i,i\in[1,n]$
每次操作可以交换 $A_{i},A_{j}$
要求操作后使得， $∀i∈[1,n],Ai≥Bi\forall i\in[1,n],A_i\ge B_i$ ，问操作的最少元素个数
$n≤300000n\le300000$

题解

相当于我们要钦定一个最小的集合 $S$ ，将 $S$ 中的元素重排，使得 $S$ 中的元素全部满足，并且 $S$ 外的元素本来必须满足条件
原本不满足的元素必定要在 $S$ 中，要将最少的合法的元素加入 $S$ ，使得 $S$ 重排后合法
判断 $S$ 是否有解的充要条件为，将 $S$ 中的 $A, B$ 从小到大排序后， $∀i∈S,Ai≥Bi\forall i\in S,A_i\ge B_i$
发现这个条件并不好用
转化一下条件，设 $cntt=∑i∈S[Bi≤t]−[Ai≤t]cnt_t=\sum_{i\in S}[B_i\le t]-[A_i\le t]$ ，充要条件为 $∀t∈N,cntt≥0\forall t\in N,cnt_t\ge 0$
这样每次找到一个最小的 $t$ 使得 $cnt_t<0$ ，然后从合法的元素中，为使 $cntt≥0cnt_t\ge0$ ，我们要挑选一个满足 $Bi≤t,Ai>tB_i\le t,A_i>t$ ，显然贪心地选 $A_i$ 最大的会比较优，如果找不到这样的元素，则无解
时间复杂度为 $O(nlog⁡n)O(n\log n)$

$code\text{code}$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
struct node
{
	int x,k;
};
bool operator < (node a,node b)
{
	return a.x>b.x||(a.x==b.x&&a.k<b.k);
}
priority_queue<node> q;
priority_queue<int> h;
const int N=3e5+100;
int n,m,ans;
struct Node
{
	int l,r;
}p[N+10];
bool cmp(Node a,Node b){return a.l<b.l;}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,a,b;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d %d",&a,&b);
		if(a<b) ans++,q.push((node){a,-1}),q.push((node){b,1});
		else p[++m]=(Node){b,a};
	}
	sort(p+1,p+1+m,cmp);
	int res=0;
	for(int x,j=1;!q.empty();)
	{
		x=q.top().x,res+=q.top().k,q.pop();
		while(j<=m&&p[j].l<=x) h.push(p[j].r),j++;
		if(res<0)
		{
			if(h.empty())
			{
				printf("-1");
				return 0;
			}
			int tmp=h.top();h.pop();
			if(tmp<=x)
			{
				printf("-1");
				return 0;
			}
			ans++,res++,q.push((node){tmp,-1});
		}
	}
	printf("%d",n-ans);
	return 0;
}