ARC147D Sets Scores

原创已于 2022-09-15 12:25:00 修改 · 370 阅读

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#算法

于 2022-09-06 16:04:45 首次发布

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该博客主要讨论了一种特殊数集序列的定义及其贡献的计算方法。通过定义序列中相邻元素的比例关系，并给出一个长度为n、元素取值范围在1到m的序列，求所有满足条件的序列的贡献之和。博主提出，可以通过考虑每个元素在序列首部出现的情况来简化问题，并给出了利用快速幂运算求解的高效算法。最终，博主给出了C++代码实现，计算了所有可能序列的贡献并对其求和，答案对998244353取模。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

定义一个长度为 $n$ 的数集序列 $,sn}S:\{s_1,\cdots,s_n\}$ 是好的，当且仅当 $∀i∈[1,n−1],∣si/si−1∣=1或∣si−1/si∣=1\forall i\in[1,n-1],|s_i/s_{i-1}|=1或|s_{i-1}/s_{i}|=1$ ， $si⊂[1,m]s_i\subset[1,m]$ ，定义一个数集序列 $S$ 的贡献为 $∏i=1m∑j=1n[i∈sj]\prod_{i=1}^m\sum_{j=1}^n[i\in s_j]$ ，求所有数集序列的贡献的和，对 $998244353$ 取模
$n,m≤200000n,m\le200000$

题解

设 $x_i$ 表示只在 $s_i$ 和 $s_{i+1}$ 中出现一次的元素
现在考虑已知 $xi,i∈[1,n−1]x_i,i\in[1,n-1]$ ，怎么求答案，需要考虑每个元素一开始是否在 $s_1$ 中，发现各个元素之间互不影响，且若 $a_i$ 为 $s_1$ 中有 $i$ ， $i$ 在所有集合中出现的个数，则 $s_1$ 中没 $i$ ， $i$ 在所有集合中出现的个数为 $n-a_i$ ，所以有贡献和为 $∏i=1m(ai+n−ai)=nm\prod_{i=1}^m(a_i+n-a_i)=n^m$ ，可以发现 $x$ 是什么与答案并无关系，故再乘上 $x$ 的方案数 $m^{n-1}$ 即为答案

$code\text{code}$

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=998244353;
ll ksm(ll a,ll b)
{
	if(b==0) return 1;
	ll tmp=ksm(a,b>>1);
	if(b&1) return tmp*tmp%mod*a%mod;
	else return tmp*tmp%mod;
}
int n,m;
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	printf("%lld\n",ksm(n,m)*ksm(m,n-1)%mod);
	return 0;
}