莫比乌斯学习笔记

莫比乌斯函数定义

μ(n)={(1)m0,,p1,p2...pm=1k|pk>1

性质1(积性函数)

μ(ab)=μ(a)μ(b)|gcd(a,b)=1

性质2

d|nμ(d)=0(n>1)
证明:
d=Πmi=1aipi
k|pk>1 μ(d)=0 无需考虑
相当于n分解的因数选或不选求 μ 的和的问题
所以 d|nμ(d)=mk=0Ckm(1)k
根据二项式定理 (a+b)n=nk=0Cknakbnk
a=1,b=1 代入得 d|nμ(d)=(11)m=0
特别的 n=1 时原式 =μ(1)=1
证毕

前缀和求法

M(N)=ni=1μ(i)
=ni=1(d|iμ(d)d|i,d=iμ(d))
=1ni=1d|i,d=iμ(d)
=1ni=1(Ni1)μ(i)

小的线性筛,大的递归(分段)

另外的性质

d|nϕ(d)=n
证明:
S={rn|r=1,2...n}
|S|=n
rn 最简形式为 cd
|S|=d|n[gcd(c,d)=1]
|S|=d|nϕ(d)
证毕

莫比乌斯反演

g(n)=d|nf(d)
f(n)=d|nμ(d)g(nd)

证明:
d|nμ(d)d|ndf(d)
=dd|nμ(d)f(d)
=d|nf(d)d|ndμ(d)
由函数性质2可得
当且仅当n/d=1时即n=d时 d|ndμ(d)=1
否则 d|ndμ(d)=0
所以原式 =f(n)

推论

g(n)=n|df(d)
f(n)=n|dμ(dn)g(d)
证明:
n|dμ(dn)g(d)
= n|dμ(dn)d|df(d)
= n|df(d)n|d|dμ(dn)
= n|df(d)k|dnμ(k)
由函数性质2得d’=n时才有效
= f(n)

例题1

求i=1..n, j=1..m中gcd(i,j)=1的个数
f(k)=ni=1mj=1[gcd(i,j)=k]
g(k)=ni=1mj=1[k|gcd(i,j)]
g(k)=k|df(d)
f(k)=k|dμ(dk)g(d)
=k|dμ(dk)ndmd
=min(n,m)kp=1μ(p)nkpmkp
p=dk

扩展

ni=1mj=1[gcd(i,j)=prime]
=np=1is[p]npi=1mpj=1[gcd(i,j)=1]
=np=1is[p]npi=1mpj=1d|i,d|jμ(d) 注: d|i,d|jd|gcd(i,j)
=np=1is[p]npd=1μ(d)npdmpd
=nk=1g(k)nkmk
g(k)=p|kis[p]μ(kp)
可知 g(pk)=p|kpis[p]μ(kpp)
①当p’|k时
g(pk)={μ(k)0,p=p,p!=p
所以 g(pk)=μ(k)
②当 p/|k
g(pk)=μ(k)μ(kp),p=p,p!=p
p!=p 部分的求和就是g(k)
所以 g(pk)=μ(k)g(k)

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