莫比乌斯学习笔记

莫比乌斯函数定义

$\mu(n)=\left\{\begin{aligned}&(-1)^m&, & p1,p2...pm=1\\&0 &,&\exists k|pk>1\\\end{aligned}\right.$

性质1（积性函数）

$\mu(ab)=\mu(a)*\mu(b)|gcd(a,b)=1$

性质2

$\sum_{d|n}\mu(d)=0(n>1)$
证明:
设$d=\Pi_{i=1}^m{a_i}^{p_i}$
当$\exists k|pk>1$时$\mu(d)=0$无需考虑
相当于n分解的因数选或不选求$\mu$的和的问题
所以$\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{k=0}^{m}C_{m}^{k}(-1)^k$
根据二项式定理$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^kb^{n-k}$
把$a=-1,b=1$代入得$\sum_{d|n}\mu(d)=(1-1)^m=0$
特别的$n=1$时原式$=\mu(1)=1$
证毕

前缀和求法

$M(N)=\sum_{i=1}^n\mu(i)$
$=\sum_{i=1}^n(\sum_{d|i}\mu(d)-\sum_{d|i,d=i}\mu(d))$
$=1-\sum_{i=1}^n\sum_{d|i,d=i}\mu(d)$
$=1-\sum_{i=1}^n(\lfloor\frac N i\rfloor-1)\mu(i)$

小的线性筛，大的递归(分段)

另外的性质

$\sum_{d|n}\phi(d)=n$
证明:
令$S=\{\frac r n|r=1,2...n\}$
则$|S|=n$
设$\frac r n$最简形式为$\frac c d$
则$|S|=\sum_{d|n}[gcd(c,d)=1]$
即$|S|=\sum_{d|n}\phi(d)$
证毕

莫比乌斯反演

若$g(n)=\sum_{d|n}f(d)$
则$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\frac n d)$

证明:
$\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{d'|\frac n d} f(d')$
$=\sum_{dd'|n}\mu(d)f(d')$
$=\sum_{d|n}f(d)\sum_{d'|{\frac n d}}\mu(d')$
由函数性质2可得
当且仅当n/d=1时即n=d时$\sum_{d'|{\frac n d}}\mu(d')=1$
否则$\sum_{d'|{\frac n d}}\mu(d')=0$
所以原式$=f(n)$

推论

若$g(n)=\sum_{n|d}f(d)$
则$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac d n)g(d)$
证明:
$\sum_{n|d}\mu(\frac d n)g(d)$
=$\sum_{n|d}\mu(\frac d n)\sum_{d|d'}f(d')$
=$\sum_{n|d'}f(d')\sum_{n|d|d'}\mu(\frac d n)$
=$\sum_{n|d'}f(d')\sum_{k|\frac {d'} n}\mu(k)$
由函数性质2得d’=n时才有效
=$f(n)$

例题1

求i=1..n, j=1..m中gcd(i,j)=1的个数
$f(k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k]$
$g(k)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[k|gcd(i,j)]$
则$g(k)=\sum_{k|d}f(d)$
$f(k)=\sum_{k|d}\mu(\frac d k)g(d)$
$=\sum_{k|d}\mu(\frac d k)\lfloor\frac n d\rfloor\lfloor\frac m d\rfloor$
$=\sum_{p=1}^{\lfloor\frac {min(n,m)} k\rfloor}\mu(p)\lfloor\frac {\lfloor\frac n k\rfloor} p\rfloor\lfloor\frac {\lfloor\frac m k\rfloor} p\rfloor$
$p=\frac d k$

扩展

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=prime]$
$=\sum_{p=1}^nis[p]\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n p\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m p\rfloor}[gcd(i,j)=1]$
$=\sum_{p=1}^nis[p]\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n p\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m p\rfloor}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)$ 注:$d|i,d|j等价于d|gcd(i,j)$
$=\sum_{p=1}^nis[p]\sum_{d=1}^{\lfloor\frac n p\rfloor}\mu(d)\lfloor\frac n {pd}\rfloor\lfloor\frac m {pd}\rfloor$
$=\sum_{k=1}^ng(k)\lfloor\frac n k\rfloor\lfloor\frac m k\rfloor$
$g(k)=\sum_{p|k}is[p]\mu(\frac k p)$
可知$g(p'k)=\sum_{p|kp'}is[p]\mu(\frac {kp'} p)$
①当p’|k时
$g(p'k)=\left\{\begin{aligned}&\mu(k)&, p=p'\\&0 &,p!=p'\\\end{aligned}\right.$
所以$g(p'k)=\mu(k)$
②当$p'\not|k$时
$g(p'k)=\left\{\begin{aligned}&\mu(k)&, p=p'\\&-\mu(\frac k p)&,p!=p'\\\end{aligned}\right.$
$p!=p'$部分的求和就是g(k)
所以$g(p'k)=\mu(k)-g(k)$