莫比乌斯函数定义
μ(n)={(−1)m0,,p1,p2...pm=1∃k|pk>1
性质1(积性函数)
μ(ab)=μ(a)∗μ(b)|gcd(a,b)=1
性质2
∑d|nμ(d)=0(n>1)
证明:
设
d=Πmi=1aipi
当
∃k|pk>1
时
μ(d)=0
无需考虑
相当于n分解的因数选或不选求
μ
的和的问题
所以
∑d|nμ(d)=∑mk=0Ckm(−1)k
根据二项式定理
(a+b)n=∑nk=0Cknakbn−k
把
a=−1,b=1
代入得
∑d|nμ(d)=(1−1)m=0
特别的
n=1
时原式
=μ(1)=1
证毕
前缀和求法
M(N)=∑ni=1μ(i)
=∑ni=1(∑d|iμ(d)−∑d|i,d=iμ(d))
=1−∑ni=1∑d|i,d=iμ(d)
=1−∑ni=1(⌊Ni⌋−1)μ(i)
小的线性筛,大的递归(分段)
另外的性质
∑d|nϕ(d)=n
证明:
令
S={rn|r=1,2...n}
则
|S|=n
设
rn
最简形式为
cd
则
|S|=∑d|n[gcd(c,d)=1]
即
|S|=∑d|nϕ(d)
证毕
莫比乌斯反演
若
g(n)=∑d|nf(d)
则
f(n)=∑d|nμ(d)g(nd)
证明:
∑d|nμ(d)∑d′|ndf(d′)
=∑dd′|nμ(d)f(d′)
=∑d|nf(d)∑d′|ndμ(d′)
由函数性质2可得
当且仅当n/d=1时即n=d时
∑d′|ndμ(d′)=1
否则
∑d′|ndμ(d′)=0
所以原式
=f(n)
推论
若
g(n)=∑n|df(d)
则
f(n)=∑n|dμ(dn)g(d)
证明:
∑n|dμ(dn)g(d)
=
∑n|dμ(dn)∑d|d′f(d′)
=
∑n|d′f(d′)∑n|d|d′μ(dn)
=
∑n|d′f(d′)∑k|d′nμ(k)
由函数性质2得d’=n时才有效
=
f(n)
例题1
求i=1..n, j=1..m中gcd(i,j)=1的个数
f(k)=∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)=k]
g(k)=∑ni=1∑mj=1[k|gcd(i,j)]
则
g(k)=∑k|df(d)
f(k)=∑k|dμ(dk)g(d)
=∑k|dμ(dk)⌊nd⌋⌊md⌋
=∑⌊min(n,m)k⌋p=1μ(p)⌊⌊nk⌋p⌋⌊⌊mk⌋p⌋
p=dk
扩展
∑ni=1∑mj=1[gcd(i,j)=prime]
=∑np=1is[p]∑⌊np⌋i=1∑⌊mp⌋j=1[gcd(i,j)=1]
=∑np=1is[p]∑⌊np⌋i=1∑⌊mp⌋j=1∑d|i,d|jμ(d)
注:
d|i,d|j等价于d|gcd(i,j)
=∑np=1is[p]∑⌊np⌋d=1μ(d)⌊npd⌋⌊mpd⌋
=∑nk=1g(k)⌊nk⌋⌊mk⌋
g(k)=∑p|kis[p]μ(kp)
可知
g(p′k)=∑p|kp′is[p]μ(kp′p)
①当p’|k时
g(p′k)={μ(k)0,p=p′,p!=p′
所以
g(p′k)=μ(k)
②当
p′/|k
时
g(p′k)=⎧⎩⎨⎪⎪μ(k)−μ(kp),p=p′,p!=p′
p!=p′
部分的求和就是g(k)
所以
g(p′k)=μ(k)−g(k)