深入理解小波变换与信号处理-优快云博客

由于手头正研究如何构造合适的原子库，遇到了一个问题，百思不得其解，吃饭时突然发现，这个问题其实可以归结为小波基的构造。以前对小波基的平移和尺度变换总是理解的不深刻，现在发现，该来的总还是会来的，该要理解的还是要理解。
说到小波变换不得不提的就是傅立叶变换，傅立叶变换是把时域信号放到频域观察的一道桥梁，以期发现一些隐藏在信号背后的信息。信号一般可以分为平稳信号和非平稳信号，后者也可以被称作变频信号。看到这里也许你已经懂了。
平稳信号：频率在整个周期都出现
变频信号的含义就显然易见了，这里我再稍作解释，20赫兹正弦和30赫兹余弦组成一个信号，如果这个组成方式，是全时域叠加那么得到的是平稳信号，如果组成方式是前一半20赫兹后一半30赫兹，那就是非平稳信号，好了，这里容易思考一个问题，这样两个信号，在频域的表示是一样的？对的，两个不一样的信号，却在频域展示了相同的结果——20hz，30hz，那如何区分这两个信号呢？于是想到把时间信息加载到傅立叶变换上，使之发展出一种时频分析方法。现在来说说短时傅立叶变换，由于傅立叶变换的基 $e^{jwt}$ 可以看作是一个无限宽的窗，当缩短窗的长度时便得到了短时傅立叶变换，从数学式来看，就相当于乘了一个窗函数，这里就不给出公式了~霍金的时间简史不也就只有爱因斯坦的质能方程么……嘿嘿，其实我就是懒
当对信号进行短时傅立叶变换时，窗的位置展示了频率出现的位置，但这一切是以牺牲频率分辨率为目的的。窗越窄，越不能很好的检测信号的变化，频率分辨率越低，因此越高的时间分辨率，总是伴随着越低的频率分辨率。凡是都还是有代价的。
把窗的大小加以改变，形成多分辨率分析手段，然后改进基函数，平移伸缩得到小波基，小波变换，也许就这样变成了信号处理领域的一把究极武器。连续小波变换的定义，这个公式还是要有的，所以重要程度就不多说了。

C W T ψ x (τ, s) = ψ ψ x (τ, s) = 1 | s | - - \sqrt \int x (t) ψ * (( t - τ ) s) d t

$CWT_x^\psi (\tau,s) = \psi ^\psi _x(\tau,s)= \frac1{\sqrt{|s|}}\int x(t)\psi ^*(\frac{(t-\tau)}s)dt$ 注意：一般函数

f(x) $f(x)$ 当

s>1 $s\gt 1$ 时

f(sx) $f(sx)$ 是

f(x) $f(x)$ 的缩小版，而在小波函数中，尺度参数位于分母的位置，因此变化趋势相反。
小波变换过程：初始尺度设为1，先将小波按时刻移动（与信号相乘，在所有时间段内做积分）即得到了

t $t$ 时刻

s=1 $s = 1$ 尺度下的信号响应，然后连续增大

s $s$ ，重复上述过程直到所有的

s $s$ 完成。
分析：由于只有小波支撑域内的值与信号相乘才不为0，由此定位时间轴，而每个

s $s$ 对应一个谱分量，只有当信号谱分量与

s $s$ 相对应时，乘积最大，由此确定频率。注意由于s不可能精确正好取值为信号频率相对应的值，因此只能得出大概的频率范围，故而存在分辨率的问题。

1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	2	2	3	3	4	4
1	1	1	1	2	2	2	2
1	1	1	1	1	1	1	1

不知这个图有没有神能看懂（我保证不是表）
在此稍做一番解释，每个方块都反映了在时频平面内小波变换的结果
虽然方块高度有变化，从下往上看，依次增高，这个表格没有体现出来，不好意思，但面积是一定的，同一行内标记为同样数字的表示是在一个方块内的，所以读者自行脑补去掉分割线。低频处方块高度短，意味着频率分辨率高，高频处反之。垂直为频率坐标，水平为时间轴。
接下来稍微讲一些数学知识
向量基：向量空间V的基是一系列现性相关的量，向量的维数决定正交基的数目。
内积，正交，正交归一化：这个可以先由向量内积为零，推广到正交，然后归一划；然后整体由向量推广到函数。
这里提醒：墨西哥帽小波是高斯类的函数，高斯函数的二阶微分