信噪比（一些概念，公式推导，实验分析）

文章解释了几个简单的信噪比公式并给出了相关推导和实验分析

Signal-to-noise ratio 概念

信噪比定义为信号能量与噪声能量的比值:
${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}}$
P是一个平均能量，信号与噪声的能量必须在同一个系统下测量，且保证一定的系统带宽.

如果信号和噪声的方差已知，且信号是0均值。
${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {\sigma _{\mathrm {signal} }^{2}}{\sigma _{\mathrm {noise} }^{2}}}.}$

如果信号和噪声时在同一条件下测得，那么也可以通过计算幅值平方比值获得信噪比
${\displaystyle \mathrm {SNR} ={\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}=\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)^{2},}$

推导

$P_{{\mathrm {signal,dB}}}=10\log _{{10}}\left(P_{{\mathrm {signal}}}\right)$

${\displaystyle P_{\mathrm {noise,dB} }=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {noise} }\right).}$

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left(\mathrm {SNR} \right).}$

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left({\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}\right).}$

${\displaystyle 10\log _{10}\left({\frac {P_{\mathrm {signal} }}{P_{\mathrm {noise} }}}\right)=10\log _{10}\left(P_{\mathrm {signal} }\right)-10\log _{10}\left(P_{\mathrm {noise} }\right).}$

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} ={P_{\mathrm {signal,dB} }-P_{\mathrm {noise,dB} }}.}$

${\displaystyle \mathrm {SNR_{dB}} =10\log _{10}\left[\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)^{2}\right]=20\log _{10}\left({\frac {A_{\mathrm {signal} }}{A_{\mathrm {noise} }}}\right)=\left({A_{\mathrm {signal,dB} }-A_{\mathrm {noise,dB} }}\right).}$

实验分析

通过信号输入，加噪，观察加噪时sigma选择的准确性，以及信号能量，噪声信号能量，顺便验证帕塞瓦尔能量定律。

nois = sqrt(sigma)*randn(size(s));
sn = s+nois;
temps = sum(s.^2)/2^N;
tempsn = sum(sn.^2)/2^N;
display(sigma);
tempvs = var(s')
tempvsn = var(sn')
tempd = tempsn-temps
tempfs = fft(s);
tempfsn = fft(sn);
tempfsf = sum(abs(tempfs./2^N).^2)
tempfsnf  =sum(abs(tempfsn./2^N).^2)
tempdf  = tempfsnf - tempfsf

代码说明：s为输入信号（随意选择）,sn为带噪信号,平台为matlab 2015a，这里的sigma实则为$\sigma^2$

结果展示：

sigma =

    0.1000


tempd =

    0.0971


tempfsf =

    0.9990


tempfsnf =

    1.0961


tempdf =

    0.0971

K>> tempvs = var(s')%验证用方差计算能量的正确性
tempvsn = var(sn')

tempvs =

    1.0000


tempvsn =

    1.0972

证毕

讲究匠心，追求卓越！