旋转矩阵与四元数、欧拉角的关系，以及如何通过四元数解算欧拉角，一篇文章讲清楚

旋转矩阵

所谓旋转，是指一个坐标系到另一个坐标系的变换。一个坐标系，对应着一种描述世界的“尺度”和“角度”，这里我们描述的对象为向量（vector）。

假定存在目标向量$\alpha$，$\alpha$客观存在，客观静止。此时我想要去描述这个向量，那么我可以选定一个参考系（坐标系），以此为基准去描述该向量。假设此时有两个参考系W（大地坐标系）和B（机体坐标系），在W下$\alpha$为$k_w=(x0,y0,z0)$，而在B下$\alpha$为$k_b=(x1,y1,z1)$，那么这两个向量其实描述的是一个东西，只是参考系不同。

由于W和B之间存在一个相对位置关系，因此不难理解kw和kb之间也存在着一个“必然”的联系，而这个“联系”就是所谓的“旋转矩阵”。存在这样一个关系：
$$k_b=C_w^b\ast k_w$$
$C_w^b$便是“W坐标系到B坐标系”的旋转变化矩阵，$C_w^b$只跟W和B的相对位置关系有关，反映了W到B的一个“变化”，可以把它理解为一个“动作”。

那么具体拆解，$C_w^b$是一个3*3的矩阵$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$ ，如果更具象一点理解它，该矩阵的每一列分别代表了W坐标系xyz三轴在B系的投影，比如说，原先$X_w$在W系下描述为(1,0,0)，而$X_w$（仍如刚才所说，向量客观静止不变）在B系下的描述就为(a,d,g)。

事实上，正如刚才所说，$C_w^b$只跟W和B的相对位置关系有关，因此，对于任何一个向量，关于其在W和B下的描述，都存在上述的变换关系。

而想要将向量从B系的描述转为W系的描述，自然也存在一个$C_b^w$，而$C_w^b$与$C_b^w$又“恰巧”存在这样一个关系：
$$C_b^w=(C_w^b{)}^T$$

欧拉角

欧拉角在姿态的描述非常的常见，那么它与刚才的旋转矩阵又有什么样的关系呢？还记得刚才提过，旋转矩阵是描述W到B的“动作”，那么这个“动作”的具体分解其实就是欧拉角。

W到B的动作过程中，我们肯定希望动作的过程“有序”，“规范”，而不是“稀里糊涂”就过去了，这样显然更利于我们的理解和描述。自然而然的，我们想到W先绕某个轴旋转若干度，再绕某个轴旋转若干度。。。最后与B重合。这就与我们的欧拉角很接近了。

一般我们如下图建立坐标系，机头方向为X，机翼方向为Y，上下为Z。

默认地，称绕Z轴旋转的角为偏航角（yaw，$\psi$），绕Y轴旋转的为俯仰角（pitch，$\theta$），绕X轴旋转的角为横滚角（roll，$\varphi$）。建系的同时也规定了旋转的正方向，即：
$$从原点向轴的正方向看，顺时针为该轴旋转的正方向$$

那么假定W和B现在都确定了，我现在想要用欧拉角来描述W到B的变换，那么这个“描述”与什么有关呢？假设我有以下两次描述：

第一次：