MATLAB数值分析学习笔记：线性代数方程组的求解和高斯消元法

Hiter_ZPS

已于 2022-08-12 18:43:52 修改

阅读量3.5k

点赞数 5

分类专栏： MATLAB学习笔记文章标签： matlab 学习

于 2022-08-12 18:39:15 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ZPS2021112344/article/details/126308301

版权

MATLAB学习笔记专栏收录该内容

8 篇文章

订阅专栏

本文介绍了几种常见的线性方程组求解方法，包括取逆、“左除”、克莱姆法则、高斯消元法及针对三对角方程组的专用算法，并通过MATLAB代码实现了具体问题的求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

工程和科学计算的许多基本方程都是建立在守恒定律的基础之上的，比如质量守恒等，在数学上，可以建立起形如 [A]{x}={b} 的平衡方程。其中{x}表示各个分量在平衡时的取值，它们表示系统的状态或响应；右端向量{b}由无关系统性态的常数组成通常表示为外部激励。矩阵A则表示为由系统各部分相互作用或耦合关系的参数组成的系数矩阵。在工程上则意味着[相互作用][响应]=[激励]。

对于单个方程，可以采用前面介绍的一些求根法加以求解，然而事实上还有一些关系式是彼此相互耦合的，比如复杂电路的基尔霍夫定律。这就需要将这些关系式表示为一个线性代数方程组。下面就此问题介绍MATLAB求解线性代数方程组的一些方法，重点介绍高斯消元法。

一、取逆和“左除”

对于形如 A*x=b的线性代数方程组，MATLAB提供了两种直接求解的方法：取逆和“左除”。

取逆

MATLAB的矩阵取逆函数为inv(A)

故 x=inv(A)*b

左除

x=A\b

二、克莱姆法则

学习过线性代数的同学应该对克莱姆法则并不陌生，这里不再赘述，只是讲一下在MATLAB中的实现：

问题：求解

$0.3x_{1}+0.52x_{2}+ x_{3}=-0.01$

$0.5x_{1}+ x_{2}+1.9x_{3}= 0.67$

$0.1x_{1}+ 0.3x_{2}+0.5x_{3}=-0.44$

代码实现：

A=[0.3 0.52 1;0.5 1 1.9;0.1 0.3 0.5];
b=[-0.01 0.67 -0.44]';
D=det(A);
A(:,1)=b;
x(1)=det(A)/D;
A=[0.3 0.52 1;0.5 1 1.9;0.1 0.3 0.5];
A(:,2)=b;
x(2)=det(A)/D;
A=[0.3 0.52 1;0.5 1 1.9;0.1 0.3 0.5];
A(:,3)=b;
x(3)=det(A)/D;
x

问题求解：

>> Clem
x =
  -14.9000  -29.5000   19.8000

三、高斯消元法

对于小型方程，使用克莱姆法则还是很方便的，但工程上往往面对的是庞大的方程组问题，这个时候仅仅用克莱姆法则是万万不够的。

高斯消元法尽管是求解联立方程组最古老的方法之一，但直到今天依然是实际应用中最为重要的方法之一。

原理：

一般方程组(A*x=b)：

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}x_{n}=b_{1}$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\cdot \cdot \cdot +a_{2n}x_{n}=b_{2}$

$\cdot$

$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+\cdot \cdot \cdot +a_{nn}x_{n}=b_{n}$

步骤：向前消元-->向后回代

向前消元：第一阶段是将A矩阵消为一个上三角矩阵。方法是将第一个方程左右同时乘以 $\frac{a_{21}}{a_{11}}$

然后用第二个方程去减它这样就消掉了 $a_{21}$ .

类似的，反复这样进行，就可以将原方程组变换为新的“上三角方程组”。

向后回代：第二个阶段是利用“上三角方程组”解出x。

首先解出 $x_{n}$ 然后将其带入倒数第二个方程，求解 $x_{n-1}$ ,以此类推。

这样就成功的解出了x。

然而，不知道大家发没发现，如果在执行向前消元时遇到 $a_{11}$ =0,或者 $a_{11}$ 很小很小，这样就遇到了一个问题——“除数不可以为0”，这就需要每一次执行的时候选出最大的数作为“主元”，将主元作为新的“除数”。

称之前的高斯法叫朴素的高斯消元法，后者为选主元的高斯消元法。

代码实现：

function x = GaussPivot(A,b)
%%建立高斯消元法的实现代码
%求解方程A*x=b
%步骤：
%（1）向前消元；
%（2）向后回代。
%%输入：
%A=系数矩阵
%b=右向量
%%输出：
%x=方程的解向量

[m,n]=size(A);
if m~=n,error("系数矩阵须为方阵");end
nb=n+1;
Aug=[A b];
%向前消元
for k=1:n-1
    %选主元(max函数可以传回最大值和最大值索引)
    [big,i] = max(abs(Aug(k:n,k)));
    ipr = i+k-1;
    if ipr~=k
        Aug([k,ipr],:) = Aug([ipr,k],:);%交换：将绝对值大的数作主元
    end
    for i=k+1:n
        factor = Aug(i,k)/Aug(k,k);
        Aug(i,k:nb) = Aug(i,k:nb)-factor*Aug(k,k:nb);
    end
end
%向后回代
x = zeros(n,1);%创建解向量
x(n)=Aug(n,nb)/Aug(n,n);%先求出最后一个值
for i=n-1:-1:1
    x(i)=(Aug(i,nb)-Aug(i,i+1:n)*x(i+1:n))/Aug(i,i);
end
end

问题求解：

问题：

$0.3x_{1}+0.52x_{2}+ x_{3}=-0.01$

$0.5x_{1}+ x_{2}+1.9x_{3}= 0.67$

$0.1x_{1}+ 0.3x_{2}+0.5x_{3}=-0.44$

%%高斯消元法
A=[0.3 0.52 1;0.5 1 1.9;0.1 0.3 0.5];
b=[-0.01 0.67 -0.44]';
x = GaussPivot(A,b)

结果：

>> GaussPivot_test
x =
  -14.9000
  -29.5000
   19.8000

四、三对角方程组的求解

工程上经常遇到形如如下的方程组：

求解步骤依然是向前消元-->向后回代，只不由于A的稀疏性，再使用高斯消元法就太消耗时间了，书中专门为其设计了代码

代码实现:

function x = Tridiag(e,f,g,r)
%求解三对角方程组
%   由于三对角方程的系数矩阵稀疏，运算量与n成正比，而不是高斯消元的n^3
%%输入：
%e =下对角线
%f = 主对角线
%g =上对角线
%r = 右向量
%%输出：
%x=方程的解向量
n=length(f);
for k=2:n
    factor=e(k)/f(k-1);
    f(k)=f(k)-factor*g(k-1);
    r(k)=r(k)-factor*r(k-1);
end
x(n)=r(n)/f(n);
for k= n-1:-1:1
    x(k)=(r(k)-g(k)*x(k+1))/f(k);
end

问题求解：

就上述问题进行求解

e=[0,-1,-1,-1];
f=[2.04,2.04,2.04,2.04];
g=[-1,-1,-1,0];
r=[40.8,0.8,0.8,200.8];
x = Tridiag(e,f,g,r)

>> Tridiag_test
x =
   65.9698   93.7785  124.5382  159.4795

声明：文章来源于笔者学习【美】Steven C. CHapra所著，林赐译《工程于科学数值方法的MATLAB实现》（第4版）的笔记，如有谬误或想深入了解，请翻阅原书。