详解一维卷积算法

一.公式介绍

卷积分为离散卷积和连续卷积，它们的区别就是连续和离散的区别，这里以离散卷积举例。
S(n)=$(f\ast g)$[n]= ${\sum }_{m=0}^{N-1}f(m)g(n-m)$
S(n)为卷积结果序列，长度为len($f(m)$)+len($g(m)$)-1. N为信号$f(m)$的长度，$f(m)，g(m)$为离散信号。这里举个例子：$f(m)=[1234]和g(m)=[231]$

二.计算一维卷积

1.理解公式里面的数据。

将$f(m)$序列从小到大排列($F_0,F_1,F_2,F_3$)。因为上述公式中$f(m)$里面的m的序列是从小到大，(其中,$F_0=1$，$F_1=2$，$F_2=3$，$F_3=4$，其他值均为0)。而$g(m)$序列从大到小排列，因为G的序列是-m，(其中,$G_0=2$，$G_1=3$，$G_2=1$，其他值均为0)，然后再将两个序列开头对齐。

2.逐个计算S(n)

注：$f(m)$的图像是$f(m)$对y轴的反转，$g(-m)$就是$g(m)$的序列反转，$g(n-m)$的意义是把$g(-m)$平移n点，n为正，向X轴右侧平移，n为负，向X轴右侧左移。

1>S(0)的计算中，$f(m)$和$g(n-m)$的图

S(0)=$f(0)$.$g(0-0)$+$f(1)$.$g(0-1)$+$f(2)$.$g(0-2)$+$f(3)$.$g(0-3)$
=1 $\times$ 2+2 $\times$ 0+3 $\times$ 0+4 $\times$ 0=2

2>S(1)的计算中，$f(m)$和$g(n-m)$的图

S(1)=$f(0)$.$g(1-0)$+$f(1)$.$g(1-1)$+$f(2)$.$g(1-2)$+$f(3)$.$g(1-3)$
=1 $\times$ 3+2 $\times$ 2+3 $\times$ 0+4 $\times$ 0=7

3>S(2)的计算中，$f(m)$和$g(n-m)$的图

S(2)=$f(0)$.$g(2-0)$+$f(1)$.$g(2-1)$+$f(2)$.$g(2-2)$+$f(3)$.$g(2-3)$
=1 $\times$ 1+2 $\times$ 3+3 $\times$ 2+4 $\times$ 0=13

4>S(3)的计算中，$f(m)$和$g(n-m)$的图

S(3)=$f(0)$.$g(3-0)$+$f(1)$.$g(3-1)$+$f(2)$.$g(3-2)$+$f(3)$.$g(3-3)$
=1 $\times$ 0+2 $\times$ 1+3 $\times$ 3+4 $\times$ 2=19

5>S(4)的计算中，$f(m)$和$g(n-m)$的图

S(4)=$f(0)$.$g(4-0)$+$f(1)$.$g(4-1)$+$f(2)$.$g(4-2)$+$f(3)$.$g(4-3)$
=1 $\times$ 0+2 $\times$ 0+3 $\times$ 1+4 $\times$ 3=15

6>S(5)的计算中，$f(m)$和$g(n-m)$的图

S(5)=$f(0)$.$g(5-0)$+$f(1)$.$g(5-1)$+$f(2)$.$g(5-2)$+$f(3)$.$g(5-3)$
=1 $\times$ 0+2 $\times$ 0+3 $\times$ 0+4 $\times$ 1=4

7>当$g(-m)$向右移了6个单位时，可以看到，$F(X)和G(X)$没有重叠的项，n=6也没有意义了。所以$S(n)$的最大长度要使得两个序列至少有1个项重合，即两个序列长度求和再减去重合的一项的长度。(开头介绍的结果序列长度公式)

最终结果为：$S(n)=[271319154]$

三.总结一下

在卷积运算时可以交换顺序，$F(X)和G(X)$的顺序和长度都不重要，一维卷积及是一个序列反转滑动卷积另一个序列。