代码随想录|动态规划|08整数拆分-优快云博客

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leetcode:343. 整数拆分 - 力扣（LeetCode）

题目

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

思路

正整数拆分，应该是尽可能拆分成比较接近的数，比如9拆成3*3*3，因为距离相近的数相乘更大。

动规五部曲

（1）dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

（2）dp[i]得到的方式有两种（正整数从1遍历到j）：

一个是j * (i - j) 直接相乘分解成两个数相乘
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j) 分解成两个以上的数相乘

这里为什么j不拆分？

因为dp[i - j]里面已经包括了j的拆分情况，没必要重复拆分。

所以递推公式为：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j))

（3）按照题意来看，0和1是无法进行初始化的，所以初始化dp[2] = 1。

（4）从递推公式来看，dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，j是从1取到j的，所以两层for循环如下：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

（5）举例当n=10的时候，dp数组如下：

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution
{
public:
    /**
     * 整数拆分问题：给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，使得这些整数的乘积最大化。
     * 返回可以获得的最大乘积。
     *
     * 动态规划解法：
     * - 创建一个数组 dp，其中 dp[i] 表示将整数 i 拆分后的最大乘积。
     * - 从 3 开始迭代到 n，对于每个 i，再从 1 迭代到 i-1，计算将 i 拆分成 j 和 i-j 的最大乘积。
     * - 对于每个 i，比较所有的拆分结果，选择乘积最大的作为 dp[i] 的值。
     *
     * @param n 输入的正整数，需要拆分的数。
     * @return 返回拆分后的最大乘积。
     */
    int integerBreak(int n)
    {
        // 初始化动态规划数组，大小为 n+1，初始值为 0。
        vector<int> dp(n + 1);
        // 将 2 拆分的最大乘积初始化为 1，因为 2 只能拆分为 1+1，乘积为 1。
        dp[2] = 1;
        // 从 3 开始迭代到 n，计算每个数的最大拆分乘积。
        for (int i = 3; i <= n; i++)
        {
            // j 从 1 迭代到 i-1，计算将 i 拆分成 j 和 i-j 的最大乘积。
            for (int j = 1; j < i; j++)
            {
                // 更新 dp[i] 为当前最大的拆分乘积。
                // max(j * (i - j), j * dp[i - j]) 代表当前拆分方案的乘积，
                // 其中 j * (i - j) 是直接拆分成两个数的乘积，
                // j * dp[i - j] 是将 i-j 继续拆分后的最大乘积与 j 的乘积。
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        // 返回 n 的最大拆分乘积。
        return dp[n];
    }
};