【洛谷】P10499 开关问题 的题解

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题解

算法竞赛进阶指南牛逼!!!

高斯消元,感觉神奇啊。

因为书上思路都讲了,那我就来讲一下什么是高斯消元。

高斯消元法是一种线性代数中的基础求解技术,主要用于求解线性系统中的未知数,即矩阵方程组。这个方法的名字来源于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的工作。下面是基本的步骤:

  1. 增广矩阵:首先将系数矩阵和常数项向量合并成增广矩阵,即原矩阵 A A A 加上列向量 b b b,形成 [ A ∣ b ] [A|b] [Ab] 的形式。

  2. 行变换:从左上角开始,对于每一行 i i i,如果当前元素非零,将其作为主元素(pivot)。若主元素位于其他行,通过初等行变换(如交换行、倍加行或倍减行)使其置顶且变为 1 1 1,以消除这一行下方的所有元素。

  3. 消元过程:接着,依次用当前行除以其主元素,然后将结果乘以其他行以消除主元素位置以下的元素,直到整个矩阵变成阶梯形(主元素所在的行都是一系列 0 0 0 1 1 1)。

  4. 回带求解:最后,从最底部的非零行开始,根据消元过程中得到的比例关系,逐步回推计算出原始变量的值。第一行的最后一个元素就是第一个未知数的解,依此类推。

  5. 检验解:将求得的解代入原方程组,检查是否满足所有方程,确保解的有效性。

高斯消元法不仅可以用于求解线性方程组,还广泛应用于矩阵求逆、特征值计算等场景。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x & (-x)
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
namespace fastIO {
	inline int read() {
		register int x = 0, f = 1;
		register char c = getchar();
		while (c < '0' || c > '9') {
			if(c == '-') f = -1;
			c = getchar();
		}
		while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
		return x * f;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
		return;
	}
}
using namespace fastIO;
int a[105], n, t, ans; 
int main() {
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);
//	cout.tie(0);
	t = read();
	while(t --) {
		n = read();
		for(int i = 1; i <= n; i ++) {
			a[i] = read();
		}
		for(int i = 1, j; i <= n; i ++) {
			j = read();
			a[i] ^= j;
			a[i] |= 1 << i;
		}
		int x, y;
		while(~scanf("%d%d", &x, &y) && x && y) {
			a[y] |= 1 << x;
		}
		ans = 1;
		for(int i = 1; i <= n; i ++) {
			for(int j = i + 1; j <= n; j ++) {
				if(a[j] > a[i]) {
					swap(a[i], a[j]);
				}
			}
			if(a[i] == 0) {
				ans = 1 << (n - i + 1);
				break;
			}
			if(a[i] == 1) {
				ans = 0;
				break;
			}
			for(int k = n; k; k --) {
				if(a[i] >> k & 1) {
					for(int j = 1; j <= n; j ++) {
						if(i != j && (a[j] >> k & 1)) {
							a[j] ^= a[i];
						}
					}
					break;
				}
			}
		}
		if(ans == 0) {
			cout << "Oh,it's impossible~!!" << endl;
		}
		else {
			cout << ans << endl;
		}
	}
	return 0;
}
<think>好的,我现在需要帮用户解决洛谷P1656炸铁路的问题。用户想要题解、代码、解析和思路。首先,我应该回顾一下题目内容。根据引用[2],题目可能涉及铁路被炸的情况,用户提供的示例代码中有结构体存储铁路的起点、终点和状态,可能是在处理图的连通性问题。 用户提供的引用[2]中有一段代码,看起来像是在处理输入的铁路数据,每条铁路初始状态为未被炸(w=1)。这可能意味着问题需要找出关键边,也就是炸掉后会影响图的连通性的边。这类问题通常可以通过Tarjan算法求桥来解决,因为桥是图中的边,移除后会导致图不再连通。 接下来,我需要确认P1656的具体要求。根据常见的算法题,炸铁路很可能就是寻找无向图中的所有桥。桥的定义是,如果删除这条边,图会被分成两个或多个连通块。Tarjan算法可以在O(V+E)的时间内找到所有桥,这应该是解题的关键。 然后,我需要考虑如何构建图结构。通常,使用邻接表来存储图,每个节点有一个列表记录其连接的边。在实现Tarjan算法时,需要记录每个节点的发现时间和low值,用于判断是否为桥。 接下来,代码实现部分需要包括以下步骤: 1. 读取输入,构建邻接表。 2. 使用Tarjan算法遍历所有节点,找出所有桥。 3. 将找到的桥按题目要求的顺序输出,通常是按端点升序排列,如果端点相同则按另一端升序。 在引用[3]中提到拓扑排序用于车站分级问题,但这里的问题不同,可能需要不同的方法。因此,引用[3]和[1]可能不适用,但引用[2]中的代码结构可能帮助理解输入处理。 用户可能需要详细的步骤解释,比如如何应用Tarjan算法,如何处理输入输出,以及如何排序结果。此外,需要确保代码正确,符合题目的要求,比如边的输出顺序。 最后,验证思路是否正确。例如,Tarjan算法确实用于找桥,而题目要求找出所有这样的边,因此这个方法是合适的。然后,编写代码时需要注意无向图的处理,避免重复访问同一条边,通常通过记录父节点来实现。 总结思路:使用Tarjan算法寻找无向图中的所有桥,并按规则排序输出。</think>### 洛谷 P1656 炸铁路 题解 #### 题目分析 题目要求找到所有「关键铁路」,即删除该铁路后会导致图的连通性被破坏的边。这类问题对应图论中的**桥(割边)**问题,可以通过**Tarjan算法**高效解决[^5]。 #### 算法思路 1. **桥的定义**:无向图中若删除边 $(u,v)$ 后图不再连通,则该边为桥。 2. **Tarjan算法**:通过DFS遍历图,记录每个顶点的访问顺序(`dfn`)和能回溯到的最早祖先(`low`)。若对于边 $(u,v)$,满足 `low[v] > dfn[u]`,则说明 $(u,v)$ 是桥[^5]。 #### 代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; const int MAXN = 155; vector<int> graph[MAXN]; vector<pair<int, int>> bridges; int dfn[MAXN], low[MAXN], parent[MAXN]; int timer = 0; void tarjan(int u) { dfn[u] = low[u] = ++timer; for (int v : graph[u]) { if (!dfn[v]) { parent[v] = u; tarjan(v); low[u] = min(low[u], low[v]); if (low[v] > dfn[u]) { // 找到桥 bridges.push_back({min(u, v), max(u, v)}); } } else if (v != parent[u]) { low[u] = min(low[u], dfn[v]); } } } int main() { int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v; cin >> u >> v; graph[u].push_back(v); graph[v].push_back(u); } for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (!dfn[i]) { tarjan(i); } } sort(bridges.begin(), bridges.end()); for (auto &bridge : bridges) { cout << bridge.first << " " << bridge.second << endl; } return 0; } ``` #### 代码解析 1. **输入处理**:构建无向图的邻接表。 2. **Tarjan核心**:DFS遍历时维护`dfn`和`low`数组,判断桥的条件。 3. **结果排序**:将桥按字典序排序后输出,满足题目要求[^2]。 #### 复杂度分析 - 时间复杂度:$O(N + M)$,其中 $N$ 为顶点数,$M$ 为边数。 - 空间复杂度:$O(N + M)$,用于存储图结构和中间数据。
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