【洛谷】P10499 开关问题 的题解

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高斯消元，感觉神奇啊。

因为书上思路都讲了，那我就来讲一下什么是高斯消元。

高斯消元法是一种线性代数中的基础求解技术，主要用于求解线性系统中的未知数，即矩阵方程组。这个方法的名字来源于德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的工作。下面是基本的步骤：

1. 增广矩阵：首先将系数矩阵和常数项向量合并成增广矩阵，即原矩阵 $A$ 加上列向量 $b$，形成 $[A|b]$ 的形式。

2. 行变换：从左上角开始，对于每一行 $i$，如果当前元素非零，将其作为主元素（pivot）。若主元素位于其他行，通过初等行变换（如交换行、倍加行或倍减行）使其置顶且变为 $1$，以消除这一行下方的所有元素。

3. 消元过程：接着，依次用当前行除以其主元素，然后将结果乘以其他行以消除主元素位置以下的元素，直到整个矩阵变成阶梯形（主元素所在的行都是一系列 $0$ 和 $1$）。

4. 回带求解：最后，从最底部的非零行开始，根据消元过程中得到的比例关系，逐步回推计算出原始变量的值。第一行的最后一个元素就是第一个未知数的解，依此类推。

5. 检验解：将求得的解代入原方程组，检查是否满足所有方程，确保解的有效性。

高斯消元法不仅可以用于求解线性方程组，还广泛应用于矩阵求逆、特征值计算等场景。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x & (-x)
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;