算法讲解—最小生成树（Kruskal 算法）

算法讲解—最小生成树（Kruskal 算法）

简介

根据度娘的解释我们可以知道，最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)就是：一个有 $n$ 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 $n$ 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

简单点来说就是求最小的连通图，就是从一个点能到达图的任意一点，且花费的代价最小（所有边的权值最小）。

最小生成树问题通常用于网络设计、电路设计等领域，目的是找到连接所有节点的最低成本方式。常见的算法有克鲁斯卡尔算法（Kruskal）和普里姆算法（Prim）等。

Kruskal 算法

要实现最小生成树，最著名的就是 Kruskal 算法。

Kruskal 算法是一种用来求解最小生成树问题的贪心算法。最小生成树问题是指在一个连通带权无向图中找到一个生成树，使得所有边的权重之和最小。

Kruskal 算法的基本思想是从小到大选择边，直到选出 $n-1$ 条边为止（$n$ 为节点数）。具体步骤如下：

1. 将图中的所有边按照权重从小到大进行排序。

2. 初始化一个空的集合 $M$，用来存放最小生成树的边。

3. 遍历排序后的边，如果当前边的两个端点不在同一个连通分量中，则将这条边加入集合 $M$ ，并将两个端点所在的连通分量合并。

4. 重复步骤 $3$，直到集合 $M$ 中的边数达到 $n-1$ 条，其中 $n$ 为节点数。

5. 最后得到的集合 $M$ 就是最小生成树。

Kruskal 算法的时间复杂度主要取决于排序边的时间复杂度，通常使用快速排序等快速的排序算法，因此总的时间复杂度为 $O(E\log E)$，其中