【洛谷】P8792 [蓝桥杯 2022 国 A] 最大公约数 的题解

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思路

首先先考虑数组中是否存在 $1$，如果数组中存在 $1$，那么我们可以直接进行平铺把全部变成 $1$，假设 $1$ 的个数为 $x$ 个，那么最终的答案应该是 $n-x$ 次。

如果原数组中不存在 $1$，该如何呢？那么我们应该想方法变出一个 $1$，然后使用这个 $1$ 进行平推将数组全部变成 $1$。关于 $\gcd$，我们首先要明白——如果一段子数组的的 $\gcd$ 为 $1$,那么原数组的 $\gcd$ 也一定为 $1$。 这也非常容易理解，如果存在一个数组的 $\gcd$ 为 $1$，那么这个数组无论再加上任何正整数，$\gcd$ 也永远是 $1$，因为 $1$ 和任何数的 $\gcd$ 都是 $1$。

题意要求最少次数，那么在没有 $1$ 的情况下，我们需要使用最少的步数获得 $1$ ，那么就是我们需要在数组中找到最短的子数组，使得它们的 $\gcd$ 为 $1$。所以我们会涉及道查询区间 gcd ⁡ \gcd