树与二叉树（2） -- 哈夫曼树

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已于 2023-02-15 06:55:57 修改

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文章标签：数据结构算法霍夫曼树 c++

于 2023-02-15 06:35:39 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Yyan7777/article/details/129036366

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`森林、树与二叉树`

一、转化思想及遍历

树转化成二叉树

//其根结点的右子树总为空

在兄弟之间加一连线
对每个结点，只保留与第一个孩子的连线，去除其他孩子之间的连线
以树的根节点为轴心，顺时针转 45°

森林转换成二叉树
1. 将森林中每棵树转换成相应二叉树
2. 将每棵树的根结点用线相连
3. 以第一棵树根节点为二叉树的根，以其为轴心，顺时针旋转45°

在这里插入图片描述

二、二叉排序树

1. 定义

二叉排序树（二叉查找树）或者是一颗空树，或者是具有下列特性的二叉树。

（1）若左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；

（2）若右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；

（3）左、右子树也分别是一棵二叉排序树。

根据二叉排序树的定义，左子树结点值 < 根结点值 < 右子树结点值，所以对二叉排序树进
行中序遍历，可以得到一个递增的有序序列。

2. 插入操作

若原二叉排序树为空，则直接插入结点；否则，若关键字k小于根结点值，则插入到左子树，若关键字k大于根结点值，则插入到右子树。

//则向二叉排序树中插入一个新结点时，新结点一定会成为该树的一个叶子结点

3. 删除操作

（1）若被删除的结点是叶子结点，则直接删除；

(2）若结点只有一棵左子树或者右子树，则让该结点的子树成为其父结点的子树；

（3）若结点有左、右两棵子树，则今该结点的直接后继（直接前驱）代替该结点，然后从二叉排序树中删去这个直接后继（直接前驱），这样就转换成了前两种情况。
在这里插入图片描述

三、哈夫曼树

1.定义：

树中结点常被赋予一个代表某种意义的数值，那个数值称为该结点的权。

结点的带权路径长度：从树的根到任意结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积。
树的带权路径长度：树中所有叶结点的带权路径长度之和，记为WPL一三wh.
哈夫曼树：带权路径长度最小的二叉树，也称最优二叉树。

2. 构造算法

// 哈夫曼树结点的定义
struct HuffmanNode { 
     char   character;	         // 待编码的符号
     double  weight;	     // 符号出现的频率
     int  parent, lchild, rchild;  // 父结点、左, 右孩子结点的位置};

class HuffmanTree  { 
     vector<HuffmanNode> hufftree;  // 树中所有结点的存储空间
     int n;			           // 叶子结点数
public:
     HuffmanTree(vector<HuffmanNode> &leafs);
     …
};
     
    

//Huffman树的构造函数
HuffmanTree::HuffmanTree(vector<HuffmanNode> &leafs) { 
     n = leafs.size();	
     hufftree.resize(2*n-1); 
     for(int i=0;  i<n;  i++) {                // 初始化 n 个二叉树 
          hufftree[i].character = leafs[i].character;  
          hufftree[i].weight = leafs[i].weight; 
          hufftree[i].parent = hufftree[i].lchild = hufftree[i].rchild = -1;     } 
    for( i = n;  i < 2*n-1;  i++) { 
         int least, less; 
         SelectSmall(least, less, i);      // 找到最小、次小的根结点下标 
         hufftree[least].parent = hufftree[less].parent = i; 
         hufftree[i].parent = -1; 
         hufftree[i].lchild = least; 
         hufftree[i].rchild = less;
         hufftree[i].weight = hufftree[least].weight + hufftree[less].weight; 
    } 
}

3. 例题

有一电文使用五种字符 a, b, c, d, e 中，其出现频率依次为4.7.5.2.9。

（1）试画出对应的哈夫曼树（要求左子树根结点的权小于等于右子树根结点的权）。

（2）求出每个字符的哈夫曼编码。

(3）译出编码序列11000111000101011的相应电文。

（4）求带权路径长度。

解：

在这里插入图片描述