算法笔记-快速幂

快速幂就是快速的求底数的整数次方，比起朴素的方法O(n)的时间复杂度，其时间复杂度是O(log2n)。这是很不错的一个效率提升。

通常要求一个数X的Y次方，记做X^Y，朴素的计算方法是把X乘Y次得到这个结果。

而快速幂计算的过程是，对于指数Y进行奇偶性的判断。为了方便解释，记做：

ans = base ^exp

如果exp为奇数，那么ans = ans * base;

如果exp为偶数，那么ans = ans

然后每次base = base * base；并且每次循环指数减半，直到指数为0循环结束，ans就是所求结果。

例如求4^9

初始各成员的值分别为：ans = 1, base = 4,  exp = 9

1、第一次循环：指数exp=9为奇数，那么

ans = ans * base = 4 

base = base * base = 4 ^ 2

指数减半，exp = 4

2、第二次循环：指数exp=4为偶数，那么

ans = ans  = 4 

base = base * base = 4 ^ 4

指数减半，exp = 2

3、第三次循环：指数exp=2为偶数，那么

ans = ans  = 4 

base = base * base = 4 ^ 8

指数减半，exp = 1

4、第四次循环：指数exp=1为奇数，那么

ans = ans * base = 4^9 

base = base * base = 4 ^ 16

指数减半，exp = 0

循环结束，返回ans即所求结果。

可以看出，快速幂在求指数问题的时候，这里只进行了4次的循环，Log2N加1向下取整，而普通的方法是循环9次进行乘法，当指数非常大的时候，这个差距是越来越大的，O(n)显然是比不上O(log2N)。

快速幂在计算的时候， 指数是成半的减少，并且底数同时也是成倍增加，如果这样：base^1，base^2,base^4,base^8,.....。从两个方面同时计算幂次方。而朴素求幂则是底数线性的增加base^1,base^2,base^3,base^4,.....。底数的增加速度就远不及快速幂，并且指数的减少也是逐一减少。

double Power(double base, int exponent) {
    if(exponent >= 0) {
		double ans = 1.0;
		while(exponent) {
			// 判断是偶数还是奇数 和1进行与运算
			if(exponent & 1) {
				// 如果此时的指数 为1则为奇数 
				ans = ans * base;
			}
			base = base *base;         //底数进行乘方
			exponent = exponent >> 1;  //指数减半
		}
 
		return ans;
	}else {
		return 1.0 / Power(base, -1 * exponent); //指数为负数的情况 结果是一个分数
	}   
}