几个常用的筛学习初步模板

普通筛

任务：筛出 N 以内的所有素数
枚举 2 ~ N 之间素数，把素数的倍数置位false，剩下true的就加入到素数表中。复杂度 O(nlogn) 。

bool isPrime[N];
int prime_tot[N];//从 1 开始存储
void prime_table() //普通筛 
{
	int cnt = 0;
	memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
	for(int i = 2; i < N; i++)
	{
		if(isPrime[i])
		{
			prime_tot[++cnt]=i;
			for(int k = 2; k*i < N; k++ )
				isPrime[k*i] = false;
		}
	}
}

线性筛

可以发现普通筛会出现重复筛，比如 2 会筛 6 一次，3 又筛 6 一次，即每个数都由其全部的因子从小到大来筛；而线性筛是利用每个数的最大真因子负责来筛，复杂度为O(n)。

bool isPrime[N];
int prime_tot[N];
void prime_table() //线性筛 
{
	int cnt = 0;
	memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
	for(int i = 2; i < N; i++)
	{
		if(isPrime[i])
			prime_tot[++cnt] = i; 
		for(int j = 1; j <= cnt && prime_tot[j] * i < N; j++) //筛掉i素数倍的合数
		{
			isPrime[prime_tot[j] * i] = false;
			if(i % prime_tot[j] == 0)   //此处重点，倍数不超过 i 的最小素因子
				break;
		}
	}
}

Mobius函数

在线性筛的基础上顺带处理。

bool isPrime[N];
int prime_tot[N];
int mu[N];
void get_mu() //莫比乌斯函数 
{
	int cnt = 0;
	mu[1] = 1; // n == 1 
	memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
	for(int i = 2; i < N; i++)
	{
		if(isPrime[i])
		{
			prime_tot[++cnt] = i; 
			mu[i] = -1; //质数只含一个因子 
		}
		for(int j = 1; j <= cnt && prime_tot[j] * i < N; j++) 
		{
			isPrime[prime_tot[j] * i] = false;
			if(i % prime_tot[j] == 0)  	// i含平方因子 
				break;
			else 
				mu[prime_tot[j] * i]  = -mu[i];
		}
	}
}

狄利克雷卷积

（看成函数的运算？）
函数运算满足分配率，交换律，结合律，两积性函数的卷积仍是积性函数。

常见的积性函数

• 欧拉函数$\phi (x)$
• 莫比乌斯函数$\mu (x)$
• 单位函数$id(n)=n$
• 不变函数$1(n)=1$
• 狄利克雷卷积单位元 $\epsilon =[n==1]$
  特别地,有 $\mu \ast I=\epsilon$

欧拉函数 $\phi (x)$

• 定义：表示小于等于x的正整数中和x互质的数的个数 。$\phi (1)=1$
• 有一性质：n的所有因子的 phi 值 加起来等于 n。

• 欧拉函数和莫比乌斯函数的关系：
  
  可用狄利克雷卷积证明

• $(\phi \ast I)(n)=id(n)$

• $\phi \ast I\ast \mu =id\ast \mu$

• $\phi (n)={\sum }_{d|n}\frac{n}{d}\ast \mu (d)$

莫比乌斯反演两个公式

• $g(n)={\sum }_{d|n}f(d)⟹$$f(n)={\sum }_{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d})$
• $g(n)={\sum }_{n|d}f(d)⟹$$f(n)={\sum }_{n|d}\mu (\frac{d}{n})g(d)$

两个公式证明可参照上方用狄利克雷卷积证明的方法。

分块计算

任务：快速计算$\sum \lfloor \frac{n}{k}\rfloor (1\le k\le n)$ 复杂度O($2\sqrt{n}$)。
背景：$\lfloor \frac{n}{k}\rfloor (1<=k<=n)$ 有约$2\sqrt{n}$个互不相同的值，比如 n = 21 ，k =1，2，3，4，5，6-7，8-10，11-21，共8个不同的值。（用笔写写，可以发现左右两边是对称的）

int ans = 0;
for(int l = 1,r; l <= n; l = r+1)
{
	r = N / (N / l);
	ans += (r-l+1) * (N/l); //区间个数 * 每个数的贡献值
}

杜教筛

任务：${\sum }_{i=1}^n\mu (i),n\le 10^{12}$

在这里插入代码片

太弱了，具体的证明过程可参考巨巨们的链接：
peng_ym
https://blog.youkuaiyun.com/skywalkert/article/details/50500009