HJ107 求解立方根【python3】

原创已于 2023-02-20 07:24:14 修改 · 459 阅读

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#华为 #python

于 2023-02-14 13:12:24 首次发布

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文章介绍了两种不依赖库函数计算浮点数立方根的方法：牛顿迭代法和基于零点存在定理及区间套定理。牛顿迭代法通过迭代逼近立方根，而区间套定理方法则通过不断缩小区间找到立方根的近似值。两种方法都涉及到数值计算中的精度控制，并给出了相应的Python代码示例。

题目描述

计算一个浮点数的立方根，不使用库函数。
保留一位小数。

数据范围： $\le 20$

输入描述

待求解参数，为double类型（一个实数）

输出描述

输出参数的立方根。保留一位小数。

代码&解释

牛顿迭代法

牛顿迭代法与泰勒定理相关，由泰勒定理，函数 $f (x)$ 在 $x_0$ 附近的值可近似为 $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ ，由此可得若 $f (x) = 0$ 则有 $x=x_0-f(x_0)/f'(x_0)$
以该式作为迭代公式，设置预期的精度则可以得到零点的近似值，即立方根的近似值

while True:
    try:
        n=float(input())
        e=0.0001 #精度
        x=n #初值3为输入值
        while abs(x*x*x-n)>e:
            x=x-(x*x*x-n)/(3*x*x)
        print('%.1f'%(x))
    except:
        break

零点存在定理&区间套定理

这个解法的基于的原理是数学分析里连续函数的零点存在定理，以及区间套定理。区间套定理的证明过程其实就是代码实现求解立方根的一个过程，而零点存在定理则是帮助确定我们做区间分割时的第一个区间。
先附上两个定理。来源：华师版本的数学分析教材

零点存在定理

若函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且 $f (a)$ 与 $f (b)$ 异号，则至少存在一点 $x0∈(a,b)x_0 \in (a,b)$ ，使得 $f(x_0)=0$

区间套定理

若 ${[a_n,b_n]\}$ 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 $ξ\xi$ ，使得 $ξ∈[an,bn]\xi \in[a_n,b_n]$ ， $n = 1, 2, . . .$ ，即 $an≤ξ≤bna_n\leq\xi\leq b_n$ .

代码实现

由零点存在定理，可以先确定一个存在零点的区间。再由区间套定理，当这个区间足够小的时候，这个唯一的值 $ξ\xi$ 就可以作为零点的近似值。
因此我们仿照区间套定理的证明，对区间套的第一个区间对半分，选取零点所在的那一半区间作为第二个区间，以此类推。当区间长度小于我们所设置的精度时，即得到所求。

# f(x)=x**3-n 
while True:
    try:
        n=float(input())
        e=0.0001 #精度
        x=n #初值3为输入值

        # 确定区间
        if abs(n)>1:
            # f(0)f(n)<0
            a,b=0,n
        elif 0<n<1:
            # f(0)f(1)<0
            a,b=0,1
        elif -1<n<0:
            # f(-1)f(0)<0
            a,b=-1,0
        
        if abs(n)==1 or n==0:
            print('%.1f'%(n))
        else:
            ans=(a+b)/2
            while abs(ans**3-n)>=e:
                if (ans**3-n)*(b**3-n)<0:
                    a=ans
                else:
                    b=ans
                ans=(a+b)/2
            print('%.1f'%(ans))
        
    except:
        break