【python数学建模】特征值与特征向量运用

1、求数列通项

（1）转化为求矩阵的幂次问题

例：求斐波那契数列的通项公式
已知斐波那契数列满足：$F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$

（a） 降阶：将二阶差分方程转化为一阶差分方程组

$\{\begin{array}{l}{F}_{k+1}=F_{k+1}\\ F_{k+2}=F_{k+1}+F_k\end{array}$ 写成矩阵形式：$a_{k+1}=A{a}_{k}k=0,1,2,...$
其中$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right),a_k=\left(\begin{array}{c}{F}_k\\ F_{k+1}\end{array}\right),a_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$
推导得有：$a_k=A^k{a}_0$

（b） 求矩阵的Jordan标准形
矩阵的特征方程为：${\lambda }^2-\lambda -1$，特征根为$\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$，特征向量为$,\left(\begin{array}{c}\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\ 1\end{array}\right)$，取特征向量为列向量构成矩阵$P$
则有$A=P\left(\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)P^{-1}$
从而$a_k=A^k{a}_0$，斐波那契数列的通项公式为$a_k$的第一行元素。

（c） python实现

import sympy as sp
sp.var('k',positive=True,integre=True)
a=sp.Matrix([[0,1],[1,1]])
val=a.eigenvals()
vec=a.eigenvects()
P,D=a.diagonalize()
ak=P@(D**k)@(P.inv())
F=ak@sp.Matrix([1,1])
print(sp.latex(sp.simplify(F[0])))

求出通项公式为：$F^k=\frac{2^{-k}\left(2{\left(1-\sqrt{5}\right)}^k+\sqrt{5}{\left(1+\sqrt{5}\right)}^k+3{\left(1+\sqrt{5}\right)}^k\right)}{\sqrt{5}+5}$
取值：

f = sp.lambdify(k,F[0])
print(f(9))

（2）特征根法求通项

由于斐波那契数列的特征根是互异的，故可设通项为：
$$F_k=c_1(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^k+c_2(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^k$$
代入初值条件求解上述二元一次方程：$F_0=F_1=1$
$$\{\begin{array}{l}{c}_1+c_2=1\\ c_1(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+c_2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=1\end{array}$$
解得$\{\begin{array}{l}c1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}\\ c2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5}}{10}\end{array}$，从而得到通项公式。

python实现：

import sympy as sp
x=sp.symbols('x')
c=sp.symbols('c:2')
f=sp.Eq(x**2,x+1)
vals=list(sp.solveset(f))
eq1=c[0]+c[1]-1
eq2=c[0]*vals[0]+c[1]*vals[1]-1
s=sp.solve([eq1,eq2])

（3）利用rsolve函数求解有理系数单变量递推式

import sympy as sp
k=sp.symbols('k')
y=sp.Function('y')
f=y(k+2)-y(k+1)-y(k)
F=sp.rsolve(f,y(k),{y(0):1, y(1):1})

2、Leslie种群模型

Leslie模型是研究动物种群数量增长的模型，研究了种群中雌性生物的年龄分布和数量增长的规律。
仅考察雌性动物的年龄和数量：设最大生存年龄为L，把年龄区间$[0,L]$等分成$n$个年龄组。设第$i$个年龄组的生育率为$a_i$，存活率为$b_i$。则$a_i\ge 0,0<b_i\le 1$
且至少有一个$a_i>0$，即至少有一个年龄组的雌性是具有生育能力的。
记第$i$组的雌性动物数量在第$k$个时刻的数量为$x_i^k$，若以年龄组的间隔$\frac{L}{n}$，记第$k$个时刻为$t_k=\frac{kL}{n}$
在$t_k$时刻，第1个年龄组的雌性动物数量，应该该等于在$t_{k-1}$和$t_k$之间出生的所有雌性动物数量之和：
$$x_1^{(k)}=a_1{x}_1^{(k-1)}+a_2{x}_2^{(k-1)}+....+a_n{x}_n^{(k-1)}$$
而第i个年龄组在$t_k$时刻的雌性动物数量，应该由在$t_{k-1}$和$t_k$之间存活的第i-1个年龄组的雌性动物数量决定，即：
$$x_{i+1}^{(k)}=b_i{x}_i^{(k-1)}$$
由此可以得到线性方程组，蕴含了$t_{k-1}$和$t_k$之间各年龄组之间雌性动物数量的关系。
$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{(k)}=a_1{x}_1^{(k-1)}+a_2{x}_2^{(k-1)}+....+a_n{x}_n^{(k-1)}\\ x_2^{(k)}=b_1{x}_1^{(k-1)}\\ x_3^{(k)}=b_2{x}_2^{(k-1)}\\ .......\\ x_n^{(k)}=b_{n-1}{x}_{n-1}^{(k-1)}\end{array}$$
系数矩阵记为$L$，成为莱斯利矩阵，则上述线性方程组可以写成：
$$x^{(k)}=L{x}^{(k-1)}$$
显然可推导出公式：
$$x^{(k)}=L^k{x}^{(0)}$$
故若已知初始时刻的种群数量分布向量，就可以推出任何一个时刻的种群数量分布向量。
莱斯利模型在分析动物种群的年龄分布和总量增长方面有广泛应用，这一模型也可以应用于人口增长的年龄分布问题。

3、Pagerank算法

如果网页A有一个指向网页B的链接，则认为存在一条从顶点A到顶点B的有向边，这样就可以利用图论来研究网络的拓扑结构。
设网络对应图的邻接矩阵为$W$，为了能够将网页的页面等级值平均分给该网页链接指向的网页，对$W$各行向量作行归一化处理，记为矩阵$P$
矩阵$P$称为状态转移矩阵，它的各行向量元素之和为1。$P^T$的最大特征值（一定为1）所对应的归一化特征向量即为各顶点的Pagerank值。
记$W$矩阵的行和为$r_i=\sum _{j=1}^N{w}_{ij}$，它给出了页面i的链出链接数。
则矩阵$P$定义如下：
$$p_{ij}=\frac{w_{ij}}{r_i}$$
$P$是马尔科夫链的状态转移概率矩阵。$p_{ij}$表示了从页面i跳转到页面j的概率。
求马尔科夫链的平稳分布$x=(x_1,x_2,...,x_N{)}^T$，它满足：
$$P^{T}x=x,\sum _{i=1}^N{x}_i=1$$
$x$表示在极限情况（转移次数接近于无限）下各网页被访问的概率分布，Google将其定义为各网页的Pagerank值。