机器学习算法（二）逻辑斯蒂回归

上文中说过，逻辑斯蒂回归虽然称为回归，但它实际上是一种分类算法。认识逻辑斯蒂回归，首先需要知道sigmoid函数。下面公式1即为sigmoid函数

$$g\left( x\right) =\dfrac {1}{1+e^{-x}}$$ 它的函数图像如图所示。

1、算法介绍

和上文中的回归算法一样，我们有m条数据，每条数据有n个特征和1个标签。不同的是，上文的标签是一个连续型变量，本文中的标签是一个离散型变量，且它只有两个值，[0,1]。
在线性回归中，有$\widehat{y}=\theta ^{T}x$，而在逻辑斯蒂回归中，其结果就是在线性回归外面套上sigmoid函数，即

$$\widehat {y}=\dfrac {1}{1+e^{-\theta ^{T}x}}$$ 因此，$\widehat {y}$是一个连续变量，其取值范围为(0,1)。

对于$y$和$\widehat {y}$,我们希望，当$\widehat {y}$接近1时，$y$也大概率为1；当$\widehat {y}$接近0时，$y$也大概率为0。因此可以做出如下假设。

$$p(y=1| x,\theta )=\widehat {y}$$

$$p(y=0| x,\theta )=1-\widehat {y}$$
以上两式可以统一为 $$P\left( y| x,\theta \right) =\widehat {y}^{y}\left( 1-\widehat {y}\right) ^{1-y}$$ 同理，由于x和y均已知，它是一个关于$\theta$的函数。
据此可求出其最大似然函数： $$L\left( \theta \right) =\prod ^{m}_{i=1}\widehat {y}^{y}\left( 1-\widehat {y}\right) ^{1-y}$$ ，$i$为第$i$个样本。
同理，可求其对数似然函数为$l\left( \theta \right)$，并对每个$\theta$求偏导。求导结果为： $$\dfrac {\partial l\left( \theta \right) }{\partial \theta_{ j}}=\sum ^{m}_{i=1}\left( y^{i}-\widehat {y}^{i}\right) x^{i}_{j}$$

对其进行梯度上升学习，有

$$\theta _{j}=\theta _{j}+\alpha \left( y-\widehat {y}\right) x_{j}$$

逻辑斯蒂回归的目标函数被习惯性的认为成对数似然函数的相反数，即

$$loss=-l\left( \theta \right)$$

前文中，我们认为y的取值为0，1。若认为y的取值为+1和-1，则可推导出一个较为优美的损失函数如下。

$$loss=\sum ^{m}_{i=1}\left[ \ln \left( 1+e^{-y_{i}\widehat {y}_{i}}\right) \right]$$