机器学习算法（六）K-Means聚类、层次聚类、密度聚类、谱聚类

本文主要简述聚类算法族。聚类算法与前面文章的算法不同，它们属于非监督学习。

1、K-means聚类

记k个簇中心，为$\mu_{1}$,$\mu_{2}$,…,$\mu_{k}$,每个簇的样本数为$N_{i}$
假设每个簇中的数据都满足分布$N(\mu_{i},\sigma)$，即方差相同，均值不同的GMM。
则每一个样本点的分布函数为：

$$\phi_{i}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\dfrac{({x_{i}-\mu})^2}{2\sigma^2})$$
可求出其似然函数
$$L_{\mu}=\phi_{1}\times\phi_{2}\times...$$
且可求其对数似然为(以三个点为例)
$$l_{\mu}=\dfrac{1}{2}\sum^{k}_{j=1}\sum^{i=1}_{N_{j}}(x_{I}-\mu_{j})^2$$
求驻点有： $$\mu_{j}=\dfrac{1}{N_{j}}\sum^{N}_{i=1}x_{i}$$
因此，以均方误差为目标函数的时候肯定是收敛的。用其他函数作为目标函数不一定收敛。

注：$k$的选择采用“手肘法”，注意不是交叉验证，它连标签都没有！

2、密度聚类

代表算法：DBSCAN

K-means对噪声敏感，密度聚类对噪声不敏感。

3、层次聚类

按层次聚类，由上至下或由下至上，优点是可以任意选择聚类数

4、谱聚类

Step1:对样本点俩俩计算相似度$S_{ij}$,组成相似度矩阵，又称权值矩阵

$$W_{n\times n}=[S_{ij}]$$

Step2:将$W_{n\times n}$的主对角线元素全部置为0，把每行元素的值相加，第$i$行的和为$d_{i}$。将$d_{i}$作为主对角线元素组成$D_{n\times n}$

Step3:令

$$L_{n\times n}=D_{n\times n}-W_{n\times n}$$ ，称为拉普拉斯矩
阵。这个$L$是半正定的，它最小的特征值为0。

Step4:求L矩阵的特征值和特征向量，将所有特征值从小大排列，取出前k个（聚类数为k），将其对应的特征向量如下排列：

$$[u_{1},u{2},...,u_{k}]$$ 该矩阵的第一行即为第一个样本点转换后的特征，第二行为第二个样本点转换后的特征。将这些特征扔入K_means，其聚类结果即是谱聚类结果。