算法课笔记系列（六）—— 图（Part2）

上一周去了一趟说走就走的治疗之旅，所以算法课都没能上。:( 不过，人生有过这样一次，很足够。只要永远做自己认为对的事情就不会有跨不过去的坎。

跟上周一样，这一周的内容包含几个小部分，分别为最短路径动态规划、所有点对之间的最短路径和网络流。

第一部分：最短路径动态规划

对于一个有向图G=(V, E), 每一条边权重为c_vw(权重可为负), 问题是找到从节点s到t的最短的路径。如果边的权重中有负值，则Dijkstra方法不适用。因此我们想到一个办法，给每一个权值加上一个正常数使得每一条边的权重都为非负，这个方法也不行。

这里定义一个负（成本）环。如下图所示，顾名思义，所有边的权值的和为负数。

                                  

如果一个从s到t的路径中包含一个负（成本）环，那s-t之间不存在最短路径，否则，存在一个最短路径。如下图。

                             

下面用动态规划来解决最短路径的问题。

定义OPT(i, v) 表示使用最多i条边的最短的v到t的路径P。

1） P中使用最多i-1条边

OPT(i, v) = OPT(i - 1, v)

2） P使用第i条边

如果(v, w)是第一条边，那么OPT使用(v, w), 然后选择最佳的w-t路径使用最多i-1条边

          

通过之前的观察，可以得出，如果没有负环，那么OPT(n - 1, v)为最短的v-t路径的长度。

实现代码如下：

          

时间复杂度为O(mn), 空间复杂度为O(n^2).

下面提出一种改进。

保持一个矩阵M[v]为我们目前能够找到的最短的v-t路径。除非M[v]在前一个迭代中改变了，否则不需要检查(v, w)形成的边。这里有这样一个定理，在整个算法中，M[v]是v-t路径的长度，在i轮更新之后，M[v]不会大于使用不多于i条边的最短路径的长度。内存消耗为O(m+n)，时间复杂度为O(mn)最坏情况，但是实际会更快。

Bellman-Ford实现算法如下：

          

使用以上算法可以证明，如果对于所有的v有OPT(n, v) = OPT(n - 1, v)，那么就没有负环。

如果OPT(n, v) < OPT(n - 1, v), 那么任何从v到t的最短路径都包含一个环W，并且，W包含负数的权值边。

以上两条可以用于检测负环。Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(mn), 空间复杂度为O(m+n).<