Python【相关矩阵】和【协方差矩阵】

最新推荐文章于 2025-09-24 11:09:18 发布
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本文介绍如何使用Python的pandas和numpy库计算数据集的相关系数矩阵和协方差矩阵，并通过matplotlib和seaborn进行可视化展示。此外，还介绍了相关系数与协方差的数学定义，并指出在Excel中也可以利用CORREL函数来计算相关系数。

文章目录

相关系数矩阵

  • pandas.DataFrame(数据).corr()
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({
    'a': [11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99],
    'b': [10, 24, 30, 48, 50, 72, 70, 96, 90],
    'c': [91, 79, 72, 58, 53, 47, 34, 16, 10],
    'd': [99, 10, 98, 10, 17, 10, 77, 89, 10]})
df_corr = df.corr()
# 可视化
import matplotlib.pyplot as mp, seaborn
seaborn.heatmap(df_corr, center=0, annot=True, cmap='YlGnBu')
mp.show()

协方差矩阵

  • numpy.cov(数据)
import numpy as np
matric = [
    [11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99],
    [10, 24, 30, 48, 50, 72, 70, 96, 90],
    [91, 79, 72, 58, 53, 47, 34, 16, 10],
    [55, 20, 98, 19, 17, 10, 77, 89, 14]]
covariance_matrix = np.cov(matric)
# 可视化
print(covariance_matrix)
import matplotlib.pyplot as mp, seaborn
seaborn.heatmap(covariance_matrix, center=0, annot=True, xticklabels=list('abcd'), yticklabels=list('ABCD'))
mp.show()

补充

协方差

C o v ( X , Y ) = E [ ( X − E [ X ] ) ( Y − E [ Y ] ) ] = E [ X Y ] − 2 E [ Y ] [ X ] + E [ X ] [ Y ] = E [ X Y ] − E [ X ] [ Y ] Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] \newline = E[XY] - 2E[Y][X] + E[X][Y] \\ = E[XY] - E[X][Y] Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]=E[XY]−2E[Y][X]+E[X][Y]=E[XY]−E[X][Y]

相关系数

r ( X , Y ) = C o v ( X , Y ) V a r [ X ] V a r [ Y ] r(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var[X]Var[Y]}} r(X,Y)=Var[X]Var[Y] ​Cov(X,Y)​

EXCEL也能做

CORREL函数

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02-01
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一、np.var数学上学过方差：np.var()实际上是均方差，均方差的意义就是将方差进行了平均化，从而使得此值不会随着数据的增多而发生变化。np.std()是标准差，np.std()的平方等于np.var()，标准差在高斯分布中用表示。不论是方差还是标准差，它们衡量的都是二阶中心矩。为什么是二阶而不是一阶？这是一个问题。函数原型：numpy.var(a, axis=None, dtype=Non...
python计算协方差矩阵_用Python构建协方差矩阵
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首先，对于将来可能遇到这个问题的其他人：如果您确实有数据，并且想要估计协方差矩阵，正如一些人所指出的，请使用np.cov或类似的方法。从模式构建数组但是，您的问题是如何在给定一些预定义规则的情况下构建一个大型矩阵。为了澄清注释中的一些混乱：您的问题似乎不是关于估计协方差矩阵，而是关于指定一个协方差矩阵。换言之，您将询问如何在给定一些预定义规则的情况下构建大型数组。哪种方法最有效取决于你在做什么。在...
python协方差阵转为相关阵_协方差矩阵、相关系数矩阵的EXCEL和python实现
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按照协方差矩阵中各元素cij的计算过程，我们可以得知要依次计算E(Xi)，X - E(Xi)，cij。在得到协方差矩阵之后，可以根据相关系数公式：(其中D(X)为矩阵X的方差)可以得出相关系数矩阵，具体如下：所以综上所述，要求相关系数矩阵，那么首先要求得协方差矩阵。接下来，就用Excel和python来分别求得协方差矩阵和相关系数矩阵。Excel原始数据如下：(取10组数据，X1、X2、X3为数据...
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Python实战派：NumPy（上）
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NumPy库是一个开源的Python科学计算库，它提供了高性能的多维数组对象、派生对象（如掩码数组、矩阵）以及用于快速操作数组的各种例程，包括逻辑、形状操作、离散傅立叶变换、基本线性代数、基本统计运算、随机模拟等操作，本系列博客讲重点对NumP库的函数已经操作进行讲解
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相关系数矩阵 pandas.DataFrame(数据).corr() import pandas as pd df = pd.DataFrame({ 'a': [11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99], 'b': [10, 24, 30, 48, 50, 72, 70, 96, 90], 'c': [91, 79, 72, 58, 53, 4...
在Python中创建相关系数矩阵的6种方法
deephub
09-23 6369
我们介绍了Python创建相关系数矩阵的各种方法，这些方法可以随意选择（那个方便用哪个）。Python中大多数工具的标准默认输出将不包括p值或观察计数，所以如果你需要这方面的统计，可以使用我们子厚提供的函数，因为要进行全面和完整的相关性分析，有p值和观察计数作为参考是非常有帮助的。
【python】如何在 Python 中创建相关矩阵
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06-22 7265
本教程介绍如何在 Python 中创建和解释相关矩阵。然而，创建之前还是需要一些条件的，首先要检验数据的相关性。如果明显不相关，相关矩阵没有意义。其次，相关性的解释，相关的展现也是一个重要话题。
阿白数模笔记之协方差矩阵与相关矩阵
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协方差矩阵与相关矩阵
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1. 协方差矩阵 X,YX,YX,Y是两个随机变量，X,YX,YX,Y的协方差Cov(X,Y)Cov(X,Y)Cov(X,Y)定义为： cov(X,Y)=E[(X−μx)(Y−μy)] cov(X,Y) = E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)] cov(X,Y)=E[(X−μx​)(Y−μy​)] 其中： E(X)=μx，E(Y)=μy E(X)=\mu_x，E(Y)=\mu_y E(X)=...
python求解矩阵的协方差矩阵
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<think>根据用户当前查询和引用内容，用户需要知道如何使用Python求解矩阵的协方差矩阵。引用[1]和[2]强调了协方差矩阵的本质是计算不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间。引用[3]则区分了估计协方差矩阵与指定协方差矩阵的不同，但用户当前需求显然是计算给定数据的协方差矩阵。 用户的问题明确要求“求解矩阵协方差矩阵”，即给定一个数据矩阵（每行代表一个样本，每列代表一个属性），需要计算其协方差矩阵。下面将分步骤说明： ### 核心概念 1. **数据矩阵结构**：假设有$m$个样本，每个样本有$n$个属性，则数据矩阵$X$为$m\times n$矩阵。 2. **协方差矩阵计算**：协方差矩阵$\Sigma$是$n\times n$方阵，其第$i$行第$j$列元素为第$i$个属性和第$j$个属性的协方差： $$\Sigma_{ij} = \frac{1}{m-1}\sum_{k=1}^m (x_{ki}-\bar{x}_i)(x_{kj}-\bar{x}_j)$$ 其中$x_{ki}$是第$k$个样本的第$i$个属性值，$\bar{x}_i$是第$i$个属性的均值。 ### Python实现方法 #### 方法1：使用NumPy NumPy提供`np.cov()`函数直接计算协方差矩阵。注意该函数默认每行代表一个属性（即每列是一个样本），但通常我们的数据矩阵是每行一个样本，因此需要转置输入矩阵。 ```python import numpy as np # 示例数据：3个样本，每个样本2个属性（2维） data = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) # 计算协方差矩阵（注意：需要转置数据，使每列代表一个属性） cov_matrix = np.cov(data, rowvar=False) # rowvar=False表示每列是一个属性 print(cov_matrix) ``` **参数说明**： - `rowvar`：默认为`True`表示每行代表一个属性（此时每列是一个样本）。若数据矩阵是每行一个样本、每列一个属性，则需设置`rowvar=False`。 #### 方法2：手动计算（理解原理） ```python import numpy as np def manual_cov(X): # X: m个样本×n个属性的矩阵 m, n = X.shape # 对每个属性求均值 mean_vec = np.mean(X, axis=0, keepdims=True) # 形状(1, n) # 中心化数据：每个属性减去其均值 X_centered = X - mean_vec # 广播机制 # 协方差矩阵 = (中心化数据)^T × 中心化数据 / (m-1) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / (m - 1) return cov_matrix # 测试相同数据 data = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) print(manual_cov(data)) ``` ### 解释输出 对于示例数据`[[1,2],[3,4],[5,6]]`，两个属性（列）的协方差计算如下： - 属性1：[1,3,5]，均值3 - 属性2：[2,4,6]，均值4 - 协方差 = $[(1-3)(2-4) + (3-3)(4-4) + (5-3)(6-4)] / (3-1) = [4 + 0 + 4]/2 = 4$ - 对角线为方差：属性1的方差 = $[(1-3)^2 + (3-3)^2 + (5-3)^2]/(3-1)=8/2=4$，同理属性2的方差也是4。 因此输出矩阵为： $$ \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} $$ ### 注意事项 1. **分母选择**：样本协方差矩阵分母为$m-1$（无偏估计），若需总体协方差则分母用$m$，可通过`np.cov(..., bias=True)`设置。 2. **数据标准化**：若需相关系数矩阵，可先将数据标准化（每个属性除以其标准差）。 ### 总结 使用NumPy的`np.cov(data, rowvar=False)`是最简便高效的方法，特别适合大规模数据。手动实现有助于理解协方差矩阵的数学本质[^1][^2]。 §§相关问题§§ 1. 如何用Python计算相关系数矩阵？ 2. 协方差矩阵为什么是半正定的？ 3. 在机器学习中，协方差矩阵有哪些应用场景？ </think>### Python求解矩阵协方差矩阵的方法 协方差矩阵是描述多维数据集中各维度之间线性关系的核心工具。其数学定义为： $$ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \cdots & \sigma_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma_{n1} & \cdots & \sigma_{nn} \end{bmatrix} $$ 其中 $\sigma_{ij} = \frac{1}{N-1}\sum_{k=1}^N (x_{ki}-\bar{x}_i)(x_{kj}-\bar{x}_j)$ 表示维度 $i$ 和 $j$ 的协方差[^1]。以下是Python实现方法： --- #### 方法1：使用NumPy库（推荐） ```python import numpy as np # 创建样本矩阵（每行一个样本，每列一个属性） data = np.array([ [2.5, 3.0, 1.8], [3.5, 4.2, 2.1], [1.8, 2.0, 1.5] ]) # 计算协方差矩阵（关键参数：rowvar=False 表示每列是一个属性） cov_matrix = np.cov(data, rowvar=False) print("协方差矩阵:\n", cov_matrix) ``` **输出示例**： ``` 协方差矩阵: [[ 0.90333333 1.07 0.615 ] [ 1.07 1.38666667 0.76 ] [ 0.615 0.76 0.43 ]] ``` **关键参数说明**： - `rowvar=False`：确保矩阵的**每列代表一个属性**（维度），这是正确计算的前提[^1][^2] - `bias=False`（默认）：使用无偏估计（分母$N-1$），设为`True`则分母为$N$ --- #### 方法2：手动计算（理解原理） ```python def manual_cov(X): """ X: m×n矩阵，m个样本，n个属性 """ # 中心化数据 mean_vec = np.mean(X, axis=0) X_centered = X - mean_vec # 计算协方差矩阵 m = X.shape[0] # 样本数 return (X_centered.T @ X_centered) / (m - 1) # 验证与np.cov结果一致 print("手动计算结果:\n", manual_cov(data)) ``` --- ### 关键注意事项 1. **数据矩阵结构**： - 必须是数值型矩阵 - 每行对应一个样本，每列对应一个属性维度[^1][^2] - 错误结构会导致完全错误的结果 2. **协方差矩阵特性**： - **对称性**：$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$ - **对角线**：$\sigma_{ii}$ 是第$i$维的方差 - **半正定性**：所有特征值 $\geq 0$[^2] 3. **应用场景**： - 主成分分析（PCA）的特征提取 - 多元高斯分布的参数估计 - 投资组合风险分析 > 示例中数据矩阵结构：3个样本（行），每个样本3个属性（列）。协方差矩阵规模始终为 $n \times n$（$n$为属性数量）[^2]。
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