MIT线性代数笔记Lecture5-Lecture6

Lecture 5 Permutation矩阵，矩阵转置，向量空间

1.Permutation矩阵回顾，存在行交换情况下的LU分解

• P矩阵及新分解形式介绍：
  由上节末尾可知，如果在高斯消元的过程中遇到主元位置为0的情况，我们需要一个Permutation矩阵$P$来完成行交换的操作(Get a proper pivot)。
  其中$P$为行交换后的单位阵，在矩阵左侧乘以$P$可以视作交换相应的行。
  此时LU分解可以表示为：
  $PA=LU$
  也即$A$经过行交换之后可以转换为主元位置都不为0的情况，进而分解成$LU$的形式。
  对于任意可逆阵$A$均存在这种分解。
• P矩阵的性质：
  $$P^{-1}=P^T,P^{T}P=I$$
  线性代数对于这种性质很感兴趣，在这其中$P$只是这个概念中心的一小部分。

2. 矩阵转置与对称

• 定义与性质
  $$(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$$
  若$A^T=A$,称$A$为对称矩阵。
  $A^{T}A$为对称矩阵，因为$(A^{T}A{)}^T=A^{T}A$

3. 向量空间

向量空间指的是许多许多向量构成的空间，当然这些向量并不是随意的，它们必须遵循某些规则，比如在空间内可以进行加法和标量乘运算。

• 一个$R^2$的例子引入向量空间
  $R^2$指的是所有2维实向量构成的集合。例如[32]\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}