这篇笔记涵盖了MIT线性代数的Lecture9和Lecture10，主要内容包括线性相关性和无关性的概念，生成空间、基与维数的讨论，以及线性代数中的四个基本子空间——列空间、零空间、行空间和左零空间。解释了列向量的线性相关性与零空间的关系，以及这四个子空间的基和维数。此外，还介绍了将矩阵视为向量的新视角及其子空间的特性。
Lecture9 线性无关，生成空间，基和维数
1. 线性相关性
- 背景
当矩阵A列数大于行数时，很有可能有无穷多个非零解，因为存在自由变量。 - 线性相关性
设有向量 v 1 , v 2 , . . . . . . , v n v_1,v_2,... \ ... \ ,v_n v1,v2,... ... ,vn，在什么情况下 v 1 , v 2 , . . . . . . , v n v_1,v_2,... \ ... \ ,v_n v1,v2,... ... ,vn线性无关？
1. 定义
若不存在 v 1 , v 2 , . . . . . . , v n v_1,v_2,... \ ... \ ,v_n v1,v2,... ... ,vn的非零线性组合，其结果为零向量，称 v 1 , v 2 , . . . . . . , v n v_1,v_2,... \ ... \ ,v_n v1,v2,... ... ,vn线性无关。
反之称为向量组线性相关。
含零向量的向量组一定线性相关。
如果将所有向量（列向量）合并成矩阵 A A A：
若 A A A的零空间内有非零向量， A A A的列向量线性相关， r = n r=n
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