最大k乘积问题--动态规划

问题

问题描述：
设x是一个n位十进制整数。如果将x划分为k段，则可得到k个整数。这k个整数的乘积称为x的一个k乘积。试设计一个算法，对于给定的x和k，求出x的最大k乘积。

编程任务：
对于给定的x和k，编程计算x的最大k 乘积。

示例
Sample Input：
请输入整数位数n：4
请输入整数划分位数k：3
请输入4位整数x：1234

Sample Output：
1234的k-1次分割后的最大k乘积是：144

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推导过程

将一个n位的数字划分为k段，注意到分为k段是一个多阶段决策测问题，应采用动态规划算法来求解是适宜的。

推导打表过程：

（假设输入4位整数1234划分为3段求最大乘积数）
第一列：表示整数只分一段，结果就是本身。
第二列：表示整数分为两段。
f(2,2)=max{f(1,1)num(1,2)}= max{12}=2;
f(3,2)=max{f(1,1)num(2,3),f(2,1)num(3,3)}=max{123,123}=36;
f(4,2)=max{f(1,1)num(2,3),f(2,1)num(3,4),f(3,1)num(4,4)}=
max{1234,1234,1234}=492;
第三列：表示整数分三段。
f(3,3)=max{f(2,2)num(3,3)}=max{123}=6;
f(4,3)=max{f(2,2)num(3,4),f(3,2)num(4,4)}=max{1234,364}=144;

状态转移方程：
f(i,j):表示前i个数分为j段后的最大乘积数。num(i,j)表示第i位开始到第j位的数。一般为了求取f(i,j),求数前i位，设前h个数中已经分成了j-1段，此时最大乘积为(h,j-1)*num(j+1,i)。f(i,j)=max{f(h,j-1)*num(j+1,i)} (j-1<=h<=i-1)

边界条件：
前面i个数字没有进行划分是值显然为前i个数字组成的整数，因而得到边界值为：
f(i,1)=num(1,i) (1<=i<=n)

打印结果乘号：
为了能够打印相应的插入乘号的乘积式，设置标注位置的数组t[j]和c[i][j]，其中c[i][j]是为了相应的f[i][j]的第j-1个划分点的位置，而t[j]表明了第j-1个乘号的位置。
当给数组赋值f[i][j]=f[h][j-1]*num(h+1,i)时，做相应赋值c[i][j-1]=h,表明f[i][j]的第j-1个乘号的位置时h。在求得f[n][k]时第k-1个乘号的位置t[k-1]=c[n][k-1]=h的基础上，其他tj可应用t[j]=c[t[j+1]][j]逆推产生。

具体案例实现流程
利用notability实现推导6位数字765438划分为4段求解最大乘积问题

代码实现：
c++代码：（重点代码有标注**–**）

`#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
string x;//全局变量 

int num(int i,int j)//是为了截取从i开始的长度为j的数字
{
   
   
	int sum=0;
	for(int k=i;k<=j;k++)//将字符串转换为相对应的数，如字符串123->数123 
	{
   
   
		**sum=sum*10+(x[k-1]-'0');**
	}
	return sum;//返回字符串中所截取到的数