如何判断同一平面上某个点是否在指定的三角形内

1. 问题背景

图形学中经常以三角形面来分割物体，如何判断同一平面上一个点（P）是否在三角形(ABC)内是图形学中经常遇到的问题，主要是利用向量的叉积（叉乘）来判断。

2.解决方法

将三角形的三个点分别与点 P 组成向量，并分别计算与三角形各个边作为向量的叉积，如果 3 个叉积结果的正负号一致，能够判断点 P 在三角形 ABC 内。注意： 三角形的三个边要按顺序（顺时针或者逆时针）与点 P 做叉积。

3.原理解释

因为叉积没有交换律，所以可以通过叉积结果的方向判断两个向量的左右关系，人为观察可以采用左手系或者右手系判断方向的正负，程序的话可以通过将叉积的结果做点积，来判断叉积的结果是否在同一侧，点积的作用可以参考另一篇文章，《点积在图形学中的作用》
定义两个向量 a, b

下面是他的几种表达形式：
叉积的代数形式：

叉积的几何意义：
两个向量的叉积，长度等于原来两个向量的长度相乘再乘以夹角的正弦，方向为与两个向量都垂直，通过左手系或者右手系确定方向。（右手系：右手握住叉乘后的轴，四指由 a 向量指向 b 向量，拇指的方向就是叉乘的右手系方向。）

叉积的矩阵形式：

4.参考

1. GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪
2. Point in triangle test：https://blackpawn.com/texts/pointinpoly/default.html