状态压缩学习笔记

最新推荐文章于 2025-04-02 16:27:29 发布

原创最新推荐文章于 2025-04-02 16:27:29 发布 · 157 阅读

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以下全篇下标都是从 $1$ 开始，习惯从 $0$ 开始的自行代换（。

1.枚举 $S$ 的子集：

for(int st=S;st;st=(st-1)&S)//st为S的非空子集

对于空集需要额外的判断。

如果只枚举非空真子集，写成：

for(int st=S&(S-1);st;st=(st-1)&S)//st为S的非空真子集

注意状态是从大到小枚举的。如果要从小到大枚举状态，把上面的每个枚举的状态压进栈里。

2.枚举包含 $S$ 的集合：

C=S^U;for(int st=C;st;st=(st-1)&C)//(st|S)为包含S的集合

其中 $U$ 是全集，通常为 $(1 < < n) - 1$

注意上面枚举的集合是不包括 $S$ 的。

3.枚举 $S$ 中的 $1$ :

因为能够状态压缩的 $n$ 都很小，一般来说就对于每一位枚举的话也不会超时：

for(int i=1;i<=n;i++)if(S&(1<<i-1))//状态S中第i位为1
or
for(int i=1;i<=n;i++)if(S>>(i-1)&1)//状态S中第i位为1

更快一点的：

for(int i=0;i<n;i++)log[1<<i]=i;
for(int st,i;S;S^=st)
{
	st=S&(-S);i=log[st]+1;
	//状态S中第i位为1
}

其实就是利用了 $l o w b i t$ 的思想，脑补一下应该都会。

4.其他进制：

对于二进制中，右移 $x$ 表示除以 $2^x$ ，左移 $x$ 表示乘以 $2^x$

类推的话，对于 $p$ 进制：

bit[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)bit[i]=bit[i-1]*p;
//枚举状态S的每一位:
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	int j=S/bit[i-1]%p;//j表示S状态中第i位上的数字
}

枚举 $p$ 进制下的子集一般用不到（其实我也不会orz）

如果空间大小允许建议把题目当成 $2^x$ 进制来做（例如把 $3$ 进制当 $4$ 进制），因为可以用位运算来提高时间效率。

5.判断 $s t$ 是否是 $S$ 的子集：

if((s&st)==st)//为1,st即为S子集

注意位运算优先级。

待填。