9. 树--哈夫曼树

哈夫曼树（Huffman Tree）

定义

• 带权路径长度（WPL）：设二叉树有$n$个叶子结点，每个叶子结点带有权值$w_k$，从根结点到每个叶子结点的长度为$l_k$，则每个叶子结点的带权路径长度之和为：$WPL = \sum_{k=1}^n w_kl_k$
• 最优二叉树或哈夫曼树：WPL最小的二叉树

哈夫曼树的构造

假设有$n$个权值结点，则构造出的哈夫曼树有$n$个叶子结点：

1. 将$w_1,w_2,...,w_n$看成是有$n$棵树的森林（每棵树仅有一个结点）
2. 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林
4. 重复2、3步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求的哈夫曼树

实现

算法：

1. 将所有的权值结点构造一个最小堆
2. 重复$Size - 1$次合并操作：
   
   1. 构建一个新结点
   2. 该结点的左右子结点为最小堆的堆顶元素
   3. 该结点的权值为左右子结点权值之和
   4. 插入到最小堆中
3. 此时堆顶的结点为哈夫曼树的根结点

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode {
    int Weight;
    HuffmanTree Left, Right;
}

HuffmanTree Huffman(MinHeap H) {
    // 假设H->Size个权值已经存在H->Elements[]->Weight里
    int i;
    HuffmanTree T;
    BuildMinHeap(H);    // 将H->Elements[]按权值调整为最小堆
    for (int i = 1; i < H->Size; i++) {         // 做H->Size-1次合并
        T = malloc(sizeof(struct TreeNode));    // 建立新结点
        T->Left = DeleteMin(H);         // 从最小堆中删除一个结点，作为新T的左子结点
        T->Right = DeleteMin(H);         // 从最小堆中删除一个结点，作为新T的右子结点

        T->Weight = T->Left->Weight + T->Right->Weight; // 计算新权值
        Insert(H, T);       // 将新T插入最小堆
    }

    T = DeleteMin(H);
    return T;
}

时间复杂度：$O(NlogN)$

哈夫曼树的特点

• 没有度为1的结点
• $n$个叶子结点的哈夫曼树共有$2n-1$个结点
• 哈夫曼树的任意非叶结点的左右子树交换后仍是哈夫曼树
• 对同一组权值$\{ w_1,w_2,...,w_n \}$ `，存在不同构的两棵哈夫曼树
  
  • 例，对一组权值$\{ 1,2,3,3 \}$ ，不同构的两棵哈夫曼树：