<think>我们正在解决打鼹鼠游戏中的问题，使用二维树状数组来高效处理区域查询和单点更新。
问题描述：有一个n*n的网格（n<=1024），初始时每个网格的鼹鼠数量为0。游戏中有两种操作：
1. 在某个位置(x,y)出现k只鼹鼠（或者理解成在(x,y)位置增加k只鼹鼠）
2. 查询一个矩形区域内的鼹鼠总数
二维树状数组（也称为二叉索引树，Fenwick Tree）可以高效地支持二维数组的单点更新和区域求和（在O(log n * log n)时间内）。
根据引用[3]中的代码示例，我们可以总结二维树状数组的基本操作：
1. lowbit(x): 取x的最低位1所对应的值，即x & -x。
2. 更新操作（Modify）: 在位置(i, j)增加delta时，我们需要更新树状数组C。更新时，从(i,j)开始，沿着行和列方向不断加上lowbit，直到边界，更新所有相关的C[x][y]。
3. 求和操作（Sum）: 求从(1,1)到(i,j)的矩形区域和。通过从(i,j)开始，沿着行和列方向不断减去lowbit，直到0，累加所有相关的C[x][y]。
注意：题目中网格坐标从(0,0)到(n-1,n-1)，但树状数组通常从1开始索引。因此，我们在处理输入坐标时，需要将其加1（即转换为1-based index）。
根据引用[2]（vijos-1512）的描述，输入格式如下：
第一行：一个整数n，表示正方形区域的大小。
接下来若干行，每行有以下两种格式：
格式1: "1 x y k"，表示在坐标(x,y)处增加了k只鼹鼠（注意：题目中坐标是整点，且范围在[0, n-1]）。
格式2: "2 x1 y1 x2 y2"，表示查询矩形区域[x1,y1]到[x2,y2]内的鼹鼠总数。
输入以一行0结束。
使用二维树状数组解决该问题的步骤：
1. 初始化一个二维树状数组（大小为n+1 * n+1，初始全0）。
2. 读取操作：
如果操作类型为1：在(x,y)处增加k，则调用update(x+1, y+1, k)（因为树状数组下标从1开始）。
如果操作类型为2：查询矩形区域(x1,y1)到(x2,y2)的鼹鼠总数，则利用二维前缀和的思想：
区域和 = sum(x2+1, y2+1) - sum(x1, y2+1) - sum(x2+1, y1) + sum(x1, y1)
（注意：由于树状数组的sum函数计算的是从(1,1)到(i,j)的和，而我们的坐标已经加1，所以原坐标(x,y)在树状数组中的位置是(x+1,y+1)）
因此，实际计算：
ans = sum(x2+1, y2+1) - sum(x1, y2+1) - sum(x2+1, y1+1) + sum(x1, y1+1) ??? 这里需要调整
但是，注意：我们转换后，原坐标(x,y)对应树状数组中的(x+1,y+1)。那么矩形区域[x1, x2]和[y1, y2]（原坐标）在树状数组中的区域为[x1+1, x2+1]和[y1+1, y2+1]。
根据二维前缀和，我们要计算的是：
S = sum(x2+1, y2+1) - sum(x1, y2+1) - sum(x2+1, y1) + sum(x1, y1)
这里，sum(i,j)表示树状数组中(1,1)到(i,j)的和。
因此，我们定义：
int query(int x, int y) // 返回(1,1)到(x,y)的和
那么矩形区域[x1, y1]到[x2, y2]（原坐标）的和为：
ans = query(x2+1, y2+1) - query(x1, y2+1) - query(x2+1, y1) + query(x1, y1)
但是注意：原坐标中，x1,y1是包含在矩形内的，而树状数组的查询是包含端点的。所以这个公式正确。
然而，在输入中，我们可能会遇到操作2的查询区域，其中x1,y1,x2,y2是原坐标（0-indexed），所以转换后：
x1' = x1 + 1, y1' = y1 + 1, x2' = x2 + 1, y2' = y2 + 1
然后计算：ans = query(x2', y2') - query(x1', y2') - query(x2', y1') + query(x1', y1') 这个公式不对，正确的应该是：
ans = query(x2', y2') - query(x1'-1, y2') - query(x2', y1'-1) + query(x1'-1, y1'-1)
实际上，二维前缀和的标准公式为：
S(x1,y1,x2,y2) = S(x2,y2) - S(x1-1,y2) - S(x2,y1-1) + S(x1-1,y1-1)
因此，在树状数组中，我们计算的是从(1,1)到某个点的和，所以：
ans = query(x2+1, y2+1) - query(x1, y2+1) - query(x2+1, y1) + query(x1, y1)
注意：这里x1,y1是原坐标，在树状数组中的位置是(x1+1,y1+1)？不对，我们转换后的坐标是(x+1,y+1)作为树状数组中的位置，那么：
原坐标(x,y)在树状数组中的位置是(x+1,y+1)，所以原坐标的矩形区域[x1,x2]×[y1,y2]对应树状数组中的区域为[x1+1, y1+1]到[x2+1, y2+1]。
那么，我们要求这个区域的和，应该用：
ans = query(x2+1, y2+1) - query(x1, y2+1) - query(x2+1, y1) + query(x1, y1)
但是，注意：query(i,j)求的是树状数组中[1,1]到[i,j]的和。那么：
[x1+1, y1+1]到[x2+1, y2+1]的和 =
query(x2+1, y2+1)
- query(x1, y2+1) // 因为x1在树状数组中对应的是第x1行，但我们的矩形是从x1+1行开始的，所以减去[1,x1]行在[1,y2+1]的和
- query(x2+1, y1) // 减去[1,y1]列在[1,x2+1]行的和
+ query(x1, y1) // 因为减了两次[1,x1]行[1,y1]列，所以要加回来
所以公式正确。
因此，代码实现：
1. 定义二维数组tree（大小为(n+1)*(n+1)），初始化为0。
2. 实现lowbit函数：int lowbit(int x) { return x & -x; }
3. 更新函数：void update(int x, int y, int delta)
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
for (int j = y; j <= n; j += lowbit(j))
tree[i][j] += delta;
4. 查询函数：int query(int x, int y) // 查询(1,1)到(x,y)的和
int res = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
res += tree[i][j];
return res;
5. 对于操作1：读取x, y, k -> 调用update(x+1, y+1, k)
6. 对于操作2：读取x1,y1,x2,y2 ->
int total = query(x2+1, y2+1) - query(x1, y2+1) - query(x2+1, y1) + query(x1, y1);
// 注意：这里的x1,y1,x2,y2是原坐标（0-indexed）
注意：题目中n<=1024，所以二维树状数组的大小为1025*1025（因为下标从1到n，而n最大为1024，所以数组开1025*1025）。
但是，在输入中，操作类型为0时结束。
代码框架：
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 1030; // 1024+6
int n;
int tree[maxn][maxn];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void update(int x, int y, int delta) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
for (int j = y; j <= n; j += lowbit(j))
tree[i][j] += delta;
}
int query(int x, int y) {
int res = 0;
for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) // 注意：i>0 可以写成i，因为当i=0时，循环终止
for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
res += tree[i][j];
return res;
}
int main() {
// 注意：题目输入可能有多个测试用例？但题目描述没有说，所以按一个处理。
cin >> n; // 读入网格大小n
// 初始化树状数组（全0）
memset(tree, 0, sizeof(tree));
int op;
while (cin >> op) {
if (op == 0) break;
if (op == 1) {
int x, y, k;
cin >> x >> y >> k;
update(x+1, y+1, k); // 转换为1-based
} else if (op == 2) {
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
// 计算区域和
int ans = query(x2+1, y2+1) - query(x1, y2+1) - query(x2+1, y1) + query(x1, y1);
cout << ans << endl;
}
}
return 0;
}
但是，注意：题目中说明，洞口的位置都是整点，且输入操作中的坐标都在[0, n-1]范围内。
然而，我们需要注意：在更新操作中，可能会出现负数k吗？题目描述是“在(x,y)处增加k只鼹鼠”，所以k应该是正数（出现鼹鼠）或者负数（减少？题目没有说，但根据引用[2]的题目描述，应该是增加k只，所以k>=0）。但为了保险，我们按照输入处理。
但是，引用[2]的题目描述中并没有提到减少鼹鼠，所以k应该是正数。但程序应该能处理负数（即减少）。
另外，注意：树状数组的更新和查询都是基于差分的，所以支持负数。
但是，上面的代码中，我们直接更新，没有判断边界，所以需要保证坐标在[1,n]范围内（因为n是网格大小，而坐标加1后最大为n，所以不会越界）。
然而，我们需要注意：当x1=0时，query(x1, y1)中的x1=0，在query函数中，0不会进入循环，所以返回0，正确。
因此，上述代码可以正确运行。
但是，在二维树状数组中，我们通常使用1-based索引，所以转换后坐标范围在[1, n]（因为原坐标加1后，最小为1，最大为n，因为原坐标最大为n-1，加1后为n）。
所以，我们开数组大小为n+1（行和列都是0..n，但是我们只使用1..n），所以更新和查询时，x和y在1到n之间。
但是，在更新操作中，x+1和y+1的范围是[1, n]（因为原坐标x,y在[0, n-1]），所以x+1在[1, n]内，y+1在[1, n]内，不会越界。
因此，代码正确。
但是，注意：题目中n<=1024，所以maxn=1030足够。
下面我们用C++代码实现（注意：题目要求使用中文回答，但代码部分用C++，注释可以用中文）。
由于用户要求生成相关问题，我们在最后生成。
注意：用户要求回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，我们在引用参考的地方添加。
参考引用[2]和[3]的内容，我们实现了上述算法[^2][^3]。
但是，我们还需要注意：二维树状数组也可以使用差分的思想来支持区间更新和单点查询，但本题是单点更新和区间查询，所以直接使用上述方法即可。
另外，引用[4]提到了差分数组，但本题不需要区间更新，所以不需要二维差分。
因此，我们按照上述思路实现。
由于用户要求生成相关问题，我们在最后生成几个相关问题。
代码实现（C++）：</think>### 二维树状数组在打鼹鼠游戏中的实现
在打鼹鼠游戏中，我们需要高效处理两种操作：(1) 在坐标 $(x,y)$ 增加 $k$ 只鼹鼠（单点更新）(2) 查询矩形区域 $[x1,y1]$ 到 $[x2,y2]$ 的鼹鼠总数（区域求和）。二维树状数组能在 $O(\log n \cdot \log n)$ 时间内完成这些操作，非常适合 $n \leq 1024$ 的场景[^2][^3]。
#### 核心算法实现（C++）
```cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 1030; // 1024+6
int tree[MAXN][MAXN]; // 二维树状数组
int n; // 网格大小
// 计算最低有效位
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
// 单点更新：在(x,y)增加delta
void update(int x, int y, int delta) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
for (int j = y; j <= n; j += lowbit(j))
tree[i][j] += delta;
}
// 前缀和查询：返回(1,1)到(x,y)的矩形和
int query(int x, int y) {
int res = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
res += tree[i][j];
return res;
}
int main() {
cin >> n; // 读入网格大小
memset(tree, 0, sizeof(tree)); // 初始化
int op;
while (cin >> op && op != 0) {
if (op == 1) { // 单点更新
int x, y, k;
cin >> x >> y >> k;
update(x + 1, y + 1, k); // 坐标转换为1-based
} else if (op == 2) { // 区域查询
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
// 二维前缀和计算（转换为1-based坐标）
int ans = query(x2 + 1, y2 + 1)
- query(x1, y2 + 1)
- query(x2 + 1, y1)
+ query(x1, y1);
cout << ans << endl;
}
}
return 0;
}
```
#### 关键点解析
1. **坐标转换**：
游戏坐标 $(x,y)$（0-based）需转换为树状数组的1-based坐标 $(x+1,y+1)$，避免处理边界0[^3]。
2. **区域求和原理**：
矩形区域 $[x1,y1]$ 到 $[x2,y2]$ 的和通过二维前缀和计算：
$$ \text{sum} = Q(y_2+1,x_2+1) - Q(y_2+1,x_1) - Q(y_1,x_2+1) + Q(y_1,x_1) $$
其中 $Q(a,b)$ 是查询函数 `query(a,b)`[^3]。
3. **时间复杂度**：
- 单点更新：$O(\log n \cdot \log n)$
- 区域查询：$O(\log n \cdot \log n)$
显著优于暴力方法 $O(n^2)$[^2]。
#### 示例操作流程
1. **初始化**：网格大小 $n=4$，所有位置初始0只鼹鼠。
2. **单点更新**：在 $(1,2)$ 增加3只鼹鼠 → `update(2,3,3)`（1-based坐标）。
3. **区域查询**：查询 $[0,1]$ 到 $[2,3]$ 的矩形区域：
```math
\begin{align*}
\text{ans} &= \text{query}(3,4) - \text{query}(0,4) - \text{query}(3,1) + \text{query}(0,1) \\
&= 3 - 0 - 0 + 0 = 3
\end{align*}
```
#### 性能优化建议
1. **差分技巧**：若需支持区间更新（如整个矩形区域增减），可结合差分数组[^4]。
2. **动态内存**：当 $n>1024$ 时改用动态分配的二维数组。
3. **输入缓冲**：对大规模数据使用 `scanf` 替代 `cin` 提高效率。
本文介绍了一道名为NKOJ3702打鼹鼠的编程题，通过使用二维树状数组解决游戏中的鼹鼠计数问题。文章提供了完整的C++实现代码，展示了如何进行鼹鼠出现的更新以及查询指定区域内的鼹鼠总数。
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