leastsq()函数详解

leastsq() 函数来自于 scipy.optimize 模块，它用于执行最小二乘法拟合，即通过最小化误差的平方和来寻找一组参数，使得给定的函数尽可能好地拟合一组数据点。

leastsq(func, x0, args=(), Dfun=None, full_output=0, col_deriv=0, ftol=1.49012e-08, xtol=1.49012e-08, gtol=0.0, maxfev=0, epsfcn=None, factor=100, diag=None)

主要参数解释如下：

func：一个可调用的函数，用于计算残差。残差是指观测值与模型预测值之间的差异。该函数接受参数 x（待优化的参数数组）以及其他额外参数（由 args 提供），并返回一个包含残差的数组。
x0：初始猜测值，是一个 NumPy 数组，包含了待优化参数的初始估计值。算法将从这个初始值开始迭代寻找最优解。
args：一个元组，包含传递给 func 函数的额外参数。如果 func 函数只需要 x 参数，那么 args 可以为空元组 ()。

Dfun：可选的雅可比矩阵函数。雅可比矩阵是残差函数关于待优化参数的一阶偏导数矩阵。如果提供了 Dfun，算法将使用它来加速收敛；如果不提供，算法将通过数值方法近似计算雅可比矩阵。
full_out：布尔值，默认为 False（即 0）。如果设置为 True（即 1），函数将返回更多详细的输出信息，包括协方差矩阵、迭代信息等；如果设置为 False，则只返回拟合得到的参数。
     col_deriv：布尔值，默认为 False（即 0）。如果设置为 True（即 1），表示雅可比矩阵 Dfun 按列存储；如果设置为 False，则按行存储。
ftol
    作用：浮点数，默认为 1.49012e-08。它是函数值的收敛公差，当残差平方和的相对变化小于 ftol 时，算法认为已经收敛。
xtol
    作用：浮点数，默认为 1.49012e-08。它是参数值的收敛公差，当参数的相对变化小于 xtol 时，算法认为已经收敛。
gtol
    作用：浮点数，默认为 0.0。它是梯度的收敛公差，当雅可比矩阵的转置与残差向量的点积的范数小于 gtol 时，算法认为已经收敛。
maxfev
    作用：整数，默认为 0。它表示允许的最大函数调用次数。如果设置为 0，则根据参数数量自动确定最大调用次数。当达到最大调用次数时，算法停止迭代。
epsfcn
    作用：浮点数，默认值为 None。它用于数值计算雅可比矩阵时的步长。如果不提供，算法将根据机器精度自动确定步长。
factor
    作用：浮点数，默认为 100。它是初始步长的缩放因子，影响算法的初始搜索步长。
diag
    作用：NumPy 数组，默认为 None。它用于对参数进行缩放，以改善算法的收敛性能。如果提供了 diag，算法将在计算过程中对参数进行缩放。

代码使用示列：

import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一些示例数据
x_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y_data = np.array([2.1, 3.9, 6.2, 8.1, 10.2])

# 定义残差函数
def residuals(params, x, y):
    a, b = params
    # 计算线性函数的预测值
    y_pred = a * x + b
    # 计算残差
    return y - y_pred

# 初始猜测值
initial_guess = [1, 0]

# 使用 leastsq 进行最小二乘法拟合
result, cov_x, infodict, mesg, ier = leastsq(residuals, initial_guess, args=(x_data, y_data), full_output=True)

# 提取拟合得到的参数
a_fit, b_fit = result

print(f"拟合得到的参数 a: {a_fit}, b: {b_fit}")

# 绘制原始数据和拟合曲线
plt.scatter(x_data, y_data, label='Original data')
plt.plot(x_data, a_fit * x_data + b_fit, 'r-', label='Fitted line')
plt.legend()
plt.show()

运行结果：