【数据结构与算法】动态规划法解题20240227

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一、什么是动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的

二、动态规划的解题步骤

对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

三、509. 斐波那契数

1、动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2、确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？
因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3、dp数组如何初始化
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
4、确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

class S509:
    def func(self, n):
        # 1、创建dp数组，dp[i]:表示第i个数是第i个斐波那契数列
        dp = [0] * (n+1)
        # 3、初始化数组状态
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        # 4、确定遍历顺序
        for i in range(2, n+1):
            # 2、确定递推公式
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        print(dp)
        return dp[n]


r = S509()
n = 4
print(r.func(n))

四、70. 爬楼梯

简单
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1、动规五部曲：

1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2、确定递推公式
如何可以推出dp[i]呢？
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。
这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！
3、dp数组如何初始化
不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。
4、确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

class S70:
    def func(self, n):
        if n <= 1:
            return n
        # 1、创建dp数组，dp[i]:走到i台阶，一共用dp[i]种方法
        dp = [0] * (n + 1)
        # 3、数组初始化
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        # 4、确定遍历顺序
        for i in range(3, n + 1):
            # 2、确定递推公式
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        print(dp)
        return dp[n]


r = S70()
n = 4
print(r.func(n))

五、746. 使用最小花费爬楼梯

简单
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

1、动规五部曲：

1、确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。

2、确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
3、dp数组如何初始化
看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。
新题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。
所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;

4、确定遍历顺序
最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？
因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

class S746:
    def func(self, cost):
        # 1、创建dp数组，dp[i]:走到楼梯i，需要最小的花费为dp[i]
        dp = [0] * (len(cost) + 1)
        # 3、初始化数组
        dp[0] = 0  # 你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
        dp[1] = 0  # 你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
        # 4、确定遍历顺序
        for i in range(2, len(cost) + 1):
            # 2、递推公式
            # 在第i步，可以选择从前一步（i-1）花费体力到达当前步，或者从前两步（i-2）花费体力到达当前步
            # 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，更新dp数组
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
        return dp[len(cost)]


r = S746()
cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
print(r.func(cost))

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