算法设计与分析第四章作业

1. 用反证法证明“删数问题”的算法满足贪心选择性质

删数问题：给定一个非负整数，删除其中若干个数字，使得剩下的数字形成的数尽可能小。

贪心选择性质：每次删除最高位的尽可能大的数字。

证明：

假设最优解不包含贪心选择，即存在一个最优解，其中某一步删除的不是当前最高位的尽可能大的数字。

步骤：

1. 假设：

   • 设原数为 24873。

   • 假设最优解在某一步删除的是第 4位上的数字 7​（7​ 不是当前最高位的尽可能大的数字），形成的数为 2483。

   • 设当前最高位的尽可能大的数字为 8​（3<4），即 7<8。

2. 推导矛盾：

   • 如果我们按照贪心策略，先删除 8，则形成的数为 2473。

   • 由于 7​<8，显然 3471 的前缀比 2483 更小（在删除相同数量的数字的情况下）。

   • 接下来，我们可以继续按照贪心策略删除数字，最终得到的数（设为23 ）必然小于或等于 2473（因为每一步都是选择当前最高位的尽可能大的数字删除）。

   • 因此，23<2483。

3. 结论：

   • 由于我们找到了一个比最优解 更小的数，这与最优解的假设矛盾。

   • 因此，我们的假设不成立，即最优解必须包含贪心选择。

2. 对贪心法的体会和思考

贪心法的算法设计相对简单，容易理解和实现。它不需要复杂的搜索或回溯，减少了计算量。贪心法通常将问题分解为一系列子问题，每个子问题都选择当前最优的解。