算法设计第三章作业-优快云博客

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一. 请写出作业“算法第三章3”中题目“7-4 最低通行费”的动态规划方程

（1）状态表示

设 dp[i][j]表示商人到达网格位置 (i, j) 时的最小费用。题目中规定了必须在 (2N-1) 个单位时间内穿越出去，因为每一步的移动都会增加1个单位时间，所以只关注最终到达右下角 (N-1, N-1) 的最小费用就行。

（2）状态方程

根据N*N方格每个数的位置考虑位置dp[i][j]可以从左边或者上边过来。

if (i > 0) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j] + grid[i][j]);
}
if (j > 0) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + grid[i][j]);
}

grid[i][j]表示网格位置 (i, j) 的费用。

（3）边界条件

初始时，商人位于左上角 (0, 0)，因此 dp[0][0] = grid[0][0]。

同时，由于不能超出网格边界，因此在状态转移时，需要确保 i>=0, i<N, j>=0, j<N。

（4）时间、空间复杂度分析

时间复杂度：由于每个网格位置 (i, j) 都需要从两个或者一个方向进行状态转移，总共有 N×N 个网格位置，因此时间复杂度为 O(N^2)。
空间复杂度：需要存储每个网格位置的最小费用，因此空间复杂度为 O(N^2)。

综上所述，通过动态规划的方法，我们可以在 O(N^2) 的时间和空间复杂度内解决该问题。

（5）代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
int N;
cin >> N;

vector<vector<int>> grid(N, vector<int>(N));
for (int i = 0; i < N; ++i) {
for (int j = 0; j < N; ++j) {
cin >> grid[i][j];
}
}

vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(N, INT_MAX));
dp[0][0] = grid[0][0];

for (int i = 0; i < N; ++i) {
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (i > 0) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j] + grid[i][j]);
}
if (j > 0) {
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + grid[i][j]);
}
}
}
int minCost = dp[N-1][N-1];
cout << minCost << endl;
return 0;
}