SGU 495 Kids and Prizes(概率dp)

来源：http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=495

解题思路：

有n个奖品放在n个盒子里，m个人上去抽，每次抽完后盒子不动，礼物拿走，求被抽走的期望。

这一题有两种思路可供参考，一个是数学方面的，一个就是概率dp的递推；

思路一：数学

对于二项分布来说，期望E=n*p

对于第一个奖品来说，它不被选中的情况就是每次选的都是后（n-1）个奖品

那么，每一个奖品没被选中的概率就是(（n-1）/n)^m，那它被选中的概率就是p =1-(（n-1）/n)^m

期望自然就是 n*p；

思路二；概率dp

dp[ i ]用于表示到第i个人得到奖品数的期望（其实这里的期望就可以理解为奖品已经被拿走了几个），所以dp[ i ] 就等于上一个人的dp加上第i个人的期望

那么第i个人的dp又该怎么求呢？

对于第i个人来说，他有两种可能，一个是拿到奖品，一个是没拿到奖品。想要拿到奖品，他就要从有奖品的盒子里拿，概率是p1 =（n-dp[ i-1 ]）/n，那他的期望就是1*p1。若是没拿到奖品，自然就是从已经空了的盒子里去拿，概率是 p2 = dp[ i-1 ]/n,则期望是0*p2

所以dp[ i ] = dp[ i-1 ] + 1*（n-dp[ i-1]）/n + 0*(dp[ i-1 ]/n);

<pre name="code" class="cpp">#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
	double n,m;
	while(scanf("%lf%lf",&n,&m)!=EOF)
	{
		double e = n*(1-pow((1-1/n),m));
		printf("%.9f\n",e);
	}
	return 0;
}

<pre name="code" class="cpp">#include <stdio.h>
double dp[100005];
int main()
{
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF)
	{
		dp[1] = 1;
		for(int i=2;i<=m;i++)
		{
			dp[i] = dp[i-1] + 1*(n-dp[i-1])/n;
		}
		printf("%.9f\n",dp[m]); 
	}
	
	return 0;
}