808. 最大公约数

最新推荐文章于 2025-04-09 14:14:56 发布

Baek Hundy

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分类专栏： Acwing习题文章标签： c++ 算法开发语言

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文章介绍了计算两个整数最大公约数的欧几里得算法及其在处理大素数时的局限性，以及Stein算法如何通过避免除法和取模提高效率。提供了两种实现GCD的C++代码示例，一种基于欧几里得算法，另一种基于Stein算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

输入两个整数 a 和 b，请你编写一个函数，int gcd(int a, int b), 计算并输出 a 和 b 的最大公约数。

输入格式

共一行，包含两个整数 a 和 b。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 a 和 b 的最大公约数。

数据范围

1≤a,b≤1000

输入样例：

12 16

输出样例：

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一、欧几里得计算最大公因数思想

例如求 1997 和 615 的最大公因数的步骤：

1997 / 615 = 3 (余 152)
615 / 152 = 4 (余7)
152 / 7 = 21(余5)
7 / 5 = 1 (余2)
5 / 2 = 2 (余1)
2 / 1 = 2 (余0)

至此，最大公约数为1。

以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

注：

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来：一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然现在已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，比如说RSA加密算法至少要求500bit密钥长度，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

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原文链接:

Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法

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二、解决办法

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int gcd(int a,int b){
    int c=min(a,b);
    int d=max(a,b);
    for(int i=c;i>0;i--){
        if(c%i==0){
            if(d%i==0) return i;
        }
    }
}
int main(){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<gcd(a,b);
    return 0;
}

2.欧几里得算法

#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
    if(a%b==0) return b;
    return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<gcd(a,b);
    return 0;
}