【线性代数基础】矩阵与线性映射_矩阵与映射-优快云博客

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本文介绍了矩阵与线性映射的对应关系，通过具体例子探讨了一维向量如何通过矩阵A进行线性变换，并展示了逆矩阵的概念，即找到B使得AB=BA=E，从而恢复线性变换前的坐标系统。

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【线性代数基础】矩阵与线性映射

~~这是一篇线代笔记。~~

矩阵与线性映射的关系

我们知道，矩阵与线性变换有着一一对应的关系，因此常常用矩阵来研究线性映射。
接下来，我们讨论矩阵及其对应的线性映射在二维空间里的具体体现。
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以矩阵
$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ 为对应的线性映射为例，探究二维直角坐标系中的点的变化。
取 $x$ 轴上的点 $(0,x),x∈N(0,x),x\in\mathbb N$ ,则有

$[1211][x0]=[xx]\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ x \end{bmatrix}$

我们令 $y_{1}=x,x_{1}=x$ ,可以看到原来的直线 $x = 0$ 经过线性映射变为直线 $y_{1}=x_{1}$ ，它在新的坐标系 $x_{1}Oy_{1}$ ，中，为了方便观察，我们把它画在坐标系 $x O y$ 中，便得到下图的结果：
在这里插入图片描述
当然，为了得到更普遍的结果，我们可以直接求点 $(x, y)$ 在线性映射后的结果 $x_{1},y_{1})$ ：

$[1211][yx]=[y+2xy+x]\begin{bmatrix} 1 & 2\\1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y+2x\\y+x \end{bmatrix}$

令 $y_{1}=y+2x,x_{1}=y+x$ ，为了得到与 $x$ 轴垂直的直线在线性映射后的结果，我们联立 $y_{1}$ 与 $x_{1}$ ，消去 $y$ ，得到 $y_{1}=x+x_{1}$ (这时 $x$ 看作一个常数)它就是与 $x$ 轴垂直的直线系经过线性映射后得到的直线系，它是一个斜率为1的平行直线系，如下图（蓝色）：
在这里插入图片描述

与 $x$ 轴垂直的直线系同理，得到 $y_{1}=2x_{1}-y$ (y看作一个常数)，它是一个斜率为2的平行直线系，如下图（红色）：
在这里插入图片描述
我们可以清晰地看到，原来相互垂直的网格，变成了平行四边形网格,而我们发现，原点 $(0, 0)$ 在线性映射后的位置保持不变，这就是线性映射的效果。
我们可以这样总结二维平面坐标系中的线性映射：

二维平面中的直线在线性映射后仍旧为直线，是直线的运动，而原点在线性映射后的位置保持不变。

逆矩阵

那么在做了上述讨论后，我们知道，在矩阵 $A$ 的作用下，二维坐标系中的直线发生了变化，那如果想把它们变回去，消除矩阵 $A$ 的影响，该怎么做呢？
我们设：
$\begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}$
看能不能利用矩阵 $B$ 消除矩阵 $A$ 的影响，那么有：
$\begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y+2x\\y+x \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (2a+b)x+(a+b)y\\(2c+d)x+(c+d)y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix}$
很显然，我们得到 $a = - 1, b = 2, c = 1, d = - 1$ ,求解了矩阵 $B$ ，我们就可以实现蓝色红色线到黑色线的变换，这是一个逆过程，如下图：
在这里插入图片描述
这时我们可以发现 $B A = A B = E$ ,这是一个巧合吗，我们来论证一下。
对于矩阵
$A1=[abcd]A_{1}= \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}$ 对应的线性映射，我们想要得到它的逆过程，可以借助矩阵
$B1=[efgh]B_{1}= \begin{bmatrix} e &f\\g & h \end{bmatrix}$
我们可以这样理解（矩阵A作用于矩阵C）
$B_{1}A_{1}C=C\\B_{1}A_{1}=E\\B_{1}A_{1}B_{1}=EB_{1}=B_{1} \\A_{1}B_{1}=E$
也可以这样理解
$A_{1}C= \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ax+by\\cx+dy \end{bmatrix}\\ B_{1}A_{1}C= \begin{bmatrix} e & f\\g & h \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ax+by\\cx+dy \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=C\\ ae+cf=1\\be+df=0\\ag+ch=0\\bg+dh=1\\ B_{1}A_{1}= \begin{bmatrix} ae+cf & be+df\\ag+ch & bg+dh \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}=E$
当然，上述推导都是建立在 $A$ 可逆的情况下的，不然 $A B = A$ ，则 $B = E$ ，是不成立的，上述思考就会有漏洞。
上述的思考，引出了逆矩阵的概念，但可能会有很多不严谨的地方，但这是笔者在学习逆矩阵之前对于这个概念的思考。