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本文讨论了在编程和数学问题中遇到的关键技术，如取整对循环结束的影响，使用并查集和集合优化，特殊数值处理，区间问题的离散化方法，以及如何通过决策顺序、哈希和数据结构（如链表、Spfabfs和主席树）来解决复杂问题。

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进行除法，向下取整对判断是否有影响，(上取整 $(x+(y-1))/y$ )
进行 $contine$ ，是否影响循环结束，错过部分代码运行
只要不是下标，变量全为 $long$ ，用下标进行运算时转换格式为 $long$
给定值的大小关系是否明确
并查集缩点时，不能边缩点边建边
自定义排序，注意多元组等于时顺序是否有影响
求 $mex$ ，可以考虑用集合存数组中缺少的数，由于结果一定小于 $n+1$ ，所以集合大小不会超过 $n$ 的数量级
带有绝对值的式子，求最小，排序后会前后相消只留下首尾
取模，保证每一步都要模，若做减法要补模数
$(2^{30}-1)\&(a|b),(2^{30}-1)\&(a|c),(2^{30}-1)\&(a|d),\cdots$ 可以得到满足或条件的 $a$
$dfs$ 到1e6要改线程防止爆栈
正着不好进行决策考虑倒着，一般是在倒着决策的情况下可以将问题转为前面剩下部分的子问题
乘法运算，可以考虑转为累加
当数据很大但是总共为n个且是离散的，可以考虑离散化，例如区间端点
当要枚举区间端点才能得到结果时，看能否通过移项使等式一端只跟区间左端点或右端点有关，之后放入set，查表有一样的则满足等式，例： $o[r]-o[l-1]=p[r]-p[l-1]\Rightarrow o[r]-p[r]=o[l-1]-p[l-1]$
对于数学问题，可以试着枚举下数看能不能缩小范围
先想暴力，不要上来找规律，关注数据范围很小的变量
具有周期性质，考虑 $lcm$
先考虑特殊情况，某些值为0，考虑简单版的题目，然后再考虑不为0的情况
对于决策存在一个最优的顺序，但数据很小，可以用状压枚举所有顺序，最优一定包含
进行 $swap$ 后要看是否答案有顺序要求，记得还原
对于数组有删除插入，知道数组最大长度，用链表模拟，链表上无法二分，只能从头扫到目标点
$a-b \ is\ facotr\ of\ a^n-b^n$
$TreeMap$ 按 $key$ 升序排序，而不是value，自定义也是对 $Key$
去重不影响结果，用 $Hashset/Treeset$ ，替代 $Vector$ 防超时， $Set<Integer>[]\ hs=new\ HasSet[n+1]$
当询问很小直接做，询问很多考虑离线
累加不好处理，考虑从总和删去多余的数
操作相互抵消，考虑异或打标记传递，每次操作只向最近的影响点做标记，到了再向下传标记（如果还未被抵消）
对于矩阵上扫描，若一个点的状态会被更优的覆盖，则不用dfs，而用类Spfa bfs，保证当前进行决策的点是该点目前的最优状态，避免无效递归（再被更优的覆盖）
异或看作不进位加法，比较异或后大小，看两个数中较小数的最高位在较大数相应位的值，若为1，则变小，若为0，则变大
统计贡献时，异或操作各位之间无影响，可以对于每一位单独进行操作，看作数组值全为0/1
区间问题，看作拆为以x-1结尾的和以x+1开头的，拼接成包含x的区间
区间算贡献，对每个点进行考虑，计算有多少区间包含该点
回文串的判断也可以通过hash判断从左往右和从右往左是否相同
Hash底数取29，131，模数取1e9+7,1e9+9
数组创建也需要时间，开1e7要超时，考虑将不需要的记录滚掉
负数除法会上取整
𝑎=𝑏 的要求一个想法就是：是不是 𝑎+𝑏 为定值
主席树不带修改查询第k小
c++中long long 必须是两个long long 相加
在main中的数组要用memset赋初值
（long long)1<<j
x=k1*a1+k2*a2+k3+a3+……，判断有解，即x为gcd(a1,a2,a3……)的倍数
区间[l,r]异或和等于区间[0,l-1]^[0,r]
对于任何一个位数大于1的数，必有 𝐷(𝑛)<𝑛 （想想十进制是怎么表示数的）
而对于位数为1的数，有 𝐷(𝑛)=𝑛
所以只要有一个进位，就相当于一个位数为1的数变成位数大于1的数，则 𝐷(𝑘𝑛) 一定小于
（）括号字符串，将（=1，）=-1，前缀和后
如果反转区间 [l,r][𝑙,𝑟]，那么前缀会受到影响的位置就是 k∈[l,r]𝑘∈[𝑙,𝑟]，下标为 k𝑘 的前缀会变成 𝑠𝑙−1−(𝑠𝑘−𝑠𝑙−1)=2⋅𝑠𝑙−1−𝑠𝑘
反转区间内的 ( 和 ) 的数量必须相同，因此合法的右端点 k∈[l,r]𝑘∈[𝑙,𝑟] 还需要满足𝑠𝑘−𝑠𝑙−1=0
递归记忆化，若知道下一跳是谁，可以改为先得出当前一步的结果，再倒着for一遍由小累加处理题目
组合数C(x+1,k)=C(x,k)+C(x,k-1),可以递推
字符串公共前缀，字典树
鸽巢原理，不同颜色两两配对，可以单个为一组，由小到大排序，当前组数为max(a[i],(sum+1)/2)，去最长的为巢，其余往里放
n*n矩阵上，曼哈顿距离，找齐所用可能的距离，取对角线上的（n-2）个点，和（n-1,n),(n,n)，偶数距离为到(n,n)基数距离为到(n-1,n)
连通块，一加一减，黑白染色，dfs判断合法（访问到一个访问过的染色不冲突）
求最大值，可以将当前求得的最大值，作为下一次查找的下界，减少查找次数
树的重心，如果在树中选择某个节点并删除，这棵树将分为若干棵子树，统计子树节点数并记录最大值。取遍树上所有节点，使此最大值取到最小的节点被称为整个树的重心。树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的。以树的重心为根时，所有子树的大小都不超过整棵树大小的一半。所以i,i+n/2一定在两棵子树中
&|xor，二进制运算，求2^l到2^r中合法方案，前缀和相减
三角剖分，多边形有n个点，则最多划分出n-2个三角形
树的直径，先dfs找的最远的点，在以其为根dfs找最远的点
大数gcd，较大数对较小数一直做除法，若较大数为长度较大，用string读入
```
for(int i=0;i<a.size();++i){
    i64 x=a[i]-'0';
    A*=10;
    A+=x;
    A%=B;
}
```
double结果输出用printf("%.10f",ans2 );
调用max,min,abs等数学运算，加std::快很多
正难则反，考虑总情况减去，用差得出结果