矩阵分析与应用-05-向量空间、内积空间与线性映射02

实内积空间

向量空间只定义了向量的加法以及标量与向量的乘法，并且向量空间的和、交与直和等也只涉及两个向量空间的元素(即向量)之间比较简单的关系。虽然这些运算非常重要，但对向量和矩阵的更复杂的有关运算便显得明显不够。因此，需要对向量空间中的向量定义其他运算。最自然的联想是应该增加关于两个向量之间的内部乘积（简称内积)的定义。这就引出了内积空间的概念。

定义1  实内积空间(real inner product space)是满足下列条件的实向量空间,即对E中每一对向量,，存在向量和的内积服从以下公理:

(1)<x,x>  > 0， ，称为内积的严格正性(strict positivity)或称内积是正定的(positive definite)，并且〈x, boldmath x)= 0x = 0;

(2)<x, y>=〈y, x)，称为内积的对称性(symmetry );

(3)<x,y+z>=<x,y>+<x,z>， x, y,z;

(4)<ax, y>= a<x,y>对所有实向量x,y及所有实标量a成立。

定义2  若是一个实内积空间，并且∈，则 x 的范数(或“长度”)记作，并定义为

定理1  在实内积空间里，范数具有以下性质：

(1)    =0，并且 > 0, ≠0;

(2)