MCMC采样和M-H采样

在MCMC之马尔可夫链之中我们介绍到，给定一个概率分布π，很难直接找到对应的马尔可夫链状态转移矩阵P。只要解决这个问题，我们便可以找到一种通用的概率分布采样方法，进而用于蒙特卡罗模拟。下面我们来介绍如何找到马尔可夫链所对应的状态转移矩阵P。

1.马尔可夫链细致平稳条件

解决平稳分布π所对应的马尔可夫链状态转移矩阵P之前，我们先看一下马尔可夫链的细致平稳条件。其定义为：如果非周期马尔可夫链的状态转移矩阵P和概率分布π(x)对于所有的i,j满足下列方程，则概率分布π(x)是状态转移矩阵P的平稳分布。
$$\pi (i)P(i,j)=\pi (j)P(j,i)$$
证明如下，由细致平稳条件有
$$\sum _{i=1}^{\infty }\pi (i)P(i,j)=\sum _{i=1}^{\infty }\pi (j)P(j,i)=\pi (j)\sum _{i=1}^{\infty }P(j,i)=\pi (j)$$
将上式用矩阵表示为
$$\pi P=\pi$$
上式满足马尔可夫链的收敛性质，也就是说，只要我们找到可以使概率分布π(x)满足细致平稳分布的矩阵P即可。不过仅仅从细致平稳条件还是很难找到合适的矩阵P，比如我们的目标平稳分布使π(x)，随机找一个马尔可夫链状态转移矩阵Q，他是很难满足细致平稳条件的，即
$$\pi (i)Q(i,j)̸=\pi (j)Q(j,i)$$
那么有什么办法可以使这个等式相等呢？

2.MCMC采样

由于一般情况下，目标平稳分布π(x)和某一马尔可夫链状态转移矩阵Q不满足细致平稳条件，即
$$\pi (i)Q$$