[普及][NOIP2004 普及组] 火星人

题目描述

人类终于登上了火星的土地并且见到了神秘的火星人。人类和火星人都无法理解对方的语言，但是我们的科学家发明了一种用数字交流的方法。这种交流方法是这样的，首先，火星人把一个非常大的数字告诉人类科学家，科学家破解这个数字的含义后，再把一个很小的数字加到这个大数上面，把结果告诉火星人，作为人类的回答。

火星人用一种非常简单的方式来表示数字――掰手指。火星人只有一只手，但这只手上有成千上万的手指，这些手指排成一列，分别编号为 1,2,3,\cdots1,2,3,⋯。火星人的任意两根手指都能随意交换位置，他们就是通过这方法计数的。

一个火星人用一个人类的手演示了如何用手指计数。如果把五根手指――拇指、食指、中指、无名指和小指分别编号为 1,2,3,41,2,3,4 和 55，当它们按正常顺序排列时，形成了 55 位数 1234512345，当你交换无名指和小指的位置时，会形成 55 位数 1235412354，当你把五个手指的顺序完全颠倒时，会形成 5432154321，在所有能够形成的 120120 个 55 位数中，1234512345 最小，它表示 11；1235412354 第二小，它表示 22；5432154321 最大，它表示 120120。下表展示了只有 33 根手指时能够形成的 66 个 33 位数和它们代表的数字：

三进制数	代表的数字
123123	11
132132	22
213213	33
231231	44
312312	55
321321	66

现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这个结果不会超出火星人手指能表示的范围。

输入格式

共三行。
第一行一个正整数 NN，表示火星人手指的数目（1 \le N \le 100001≤N≤10000）。
第二行是一个正整数 MM，表示要加上去的小整数（1 \le M \le 1001≤M≤100）。
下一行是 11 到 NN 这 NN 个整数的一个排列，用空格隔开，表示火星人手指的排列顺序。

输出格式

NN 个整数，表示改变后的火星人手指的排列顺序。每两个相邻的数中间用一个空格分开，不能有多余的空格。

样例 #1

样例输入 #1

5
3
1 2 3 4 5

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样例输出 #1

1 2 4 5 3

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提示

对于 30\%30% 的数据，N \le 15N≤15。

对于 60\%60% 的数据，N \le 50N≤50。

对于 100\%100% 的数据，N \le 10000N≤10000。

noip2004 普及组第 4 题

题解

思路1

这是最常用的思路，我们观察可以发现这是一个全排列，+ 1+1 就相当于下一个全排列。

我们可以用系统函数next_permutation：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, ord[10005];
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	    scanf("%d", &ord[i]);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	    next_permutation(ord + 1, ord + n + 1); // +1
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	    printf("%d ", ord[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}

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当然你也可以选择手写，用dfs，这里就不出示代码了。

思路2

我们没事找事拓宽思维，可以把全排列转换为变进制数。

对于第 ii 根手指，它有 n-i+1n−i+1 种选择，根据位值原理，要想让每个数对应一个全排列，就要让这一位数是 n-i+1n−i+1 进制的。

之后我们把变进制数加上 mm，再转换回来，就可以了。

我们来看一个实例： 将 1,4,5,2,31,4,5,2,3 变成变进制数：

• 第 11 位 11 有 55 种选择 \{1,2,3,4,5\}{1,2,3,4,5} 的第 11 种，故变为 00（从0开始）
• 第 22 位 44 有 44 种选择 \{2,3,4,5\}{2,3,4,5} 的第 33 种，故变为 22
• 第 33 位 55 有 33 种选择 \{2,3,5\}{2,3,5} 的第 33 种，故变为 22
• 第 44 位 22 有 22 种选择 \{2,3\}{2,3} 的第 11 种，故变为 00
• 第 55 位 33 有 11 种选择 \{3\}{3} 的第 11 种，故变为 00

最后，排列 1,4,5,2,31,4,5,2,3 变成了 (02200)_{5, 4, 3, 2, 1}(02200)5,4,3,2,1​

(02200)_{5, 4, 3, 2, 1} + (3)_{10}(02200)5,4,3,2,1​+(3)10​，根据每一位的进制进位：

• 第 55 位是 11 进制的，进 33 得 (02230)(02230)。
• 第 44 位位是 22 进制的，满 22 进 11 得 (02310)(02310)。
• 第 33 位是 33 进制的，满 33 进 11 得 (03010)(03010)。
• 第 22 位是 44 进制的，3<43<4，不进位，得 (03010)_{5, 4, 3, 2, 1}(03010)5,4,3,2,1​

我们将他变回火星数：

• 第 11 位 00 表示这位应选择 \{1,2,3,4,5\}{1,2,3,4,5} 的第 11 种，即 11
• 第 22 位 33 表示这位应选择 \{2,3,4,5\}{2,3,4,5} 的第 44 种（11 被选过了），即 55
• 第 33 位 00 表示这位应选择 \{2,3,4\}{2,3,4} 的第 11 种，即 22
• 第 44 位 11 表示这位应选择 \{3,4\}{3,4} 的第 22 种，即 44
• 第 55 位 00 表示这位应选择 \{3\}{3} 的第 11 种，即 33

其实这也叫康托展开。

最后写出代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, a[10005];
bool used[10005] = {0};
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        int x = a[i];
        for (int j = 1; j <= a[i]; j++)
            x -= used[j];
        used[a[i]] = 1;
        a[i] = x - 1;
    }
    a[n] += m;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        a[i - 1] += a[i] / (n - i + 1);
        a[i] %= n - i + 1;
    }
    memset(used, 0, sizeof(used));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0;j <= a[i]; j++)
            if (used[j])
                a[i]++;
        printf("%d ", a[i] + 1);
        used[a[i]] = 1;
    }
    printf("\n");
    return 0;
}