1186 -- 方程的解数

最新推荐文章于 2022-11-02 23:46:30 发布

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本文介绍了一种高效算法，用于解决n元高次方程的整数解个数计算问题。通过分治策略和哈希表优化，实现复杂度从指数级降至多项式级别。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题出处：1186 -- 方程的解数http://poj.org/problem?id=1186

参考出处：

http://wenku.baidu.com/link?url=rhR0brVE9hJT-r8OGMui8VnM4paqkAL4pFv8DbTh1H5WzrUmrsvtzhA2COur1qmhm3UVMT3I78YimlGHocf9lsnRkRmaOOJjUc9p8p6jZmy

imzoer（快速求次方）

http://blog.youkuaiyun.com/imzoer/article/details/8045403

方程的解数

Time Limit: 15000MS		Memory Limit: 128000K
Total Submissions: 6521		Accepted: 2241
Case Time Limit: 5000MS

Description

已知一个n元高次方程：

其中：x1, x2,...,xn是未知数，k1,k2,...,kn是系数，p1,p2,...pn是指数。且方程中的所有数均为整数。
假设未知数1 <= xi <= M, i=1,,,n，求这个方程的整数解的个数。
1 <= n <= 6；1 <= M <= 150。

方程的整数解的个数小于2 ³¹。
★本题中，指数Pi(i=1,2,...,n)均为正整数。

Input

第1行包含一个整数n。第2行包含一个整数M。第3行到第n+2行，每行包含两个整数，分别表示ki和pi。两个整数之间用一个空格隔开。第3行的数据对应i=1，第n+2行的数据对应i=n。

Output

仅一行，包含一个整数，表示方程的整数解的个数。

Sample Input

Sample Output

Source

Noi 01

问题描述：

已知n元高次方程

其中方程中所有数均为整数

指数pi(i=1,2 ... n)均为正整数，系数ki(i=1,2 ... n)均为整数（可正可负）

由1 ≤ xi ≤ M，1 ≤ M ≤ 150知，未知数xi(i=1,2 ... n)均为正整数且最大值不超过150

任务：

求方程整数解的个数

约束条件：

1 ≤ n ≤ 6，1 ≤ M ≤ 150

由此知，n元高次方程所有项的和可用int型存储

方程的整数解的个数小于2³¹

^{则计算结果可用int型存储}

^解法：

第一想法：

计算系数ki(i=1,2 ... n)和指数pi(i=1,2 ... n)已知的情况下所有可能出现的和，求其中值为0的算式个数

于每个变量xi(i=1,2 ... n)枚举所有可能的取值：0 ... M( 1 ≤ M ≤ 150 )。当和为0时，即得到一个解，解计数变量+1

但时间复杂度为指数级，必定超时

第二想法：

减少搜索·只搜索x1 --> xn-1

计算系数ki(i=1,2 ... n)和指数pi(i=1,2 ... n)已知的情况下前n-1项和，求其中可能存在满足题意xn的算式个数

xn可取值为给定区间(0 ... M)内的整数时，即得到一个解，解计数变量+1

但时间复杂度仍为指数级

第三想法：get√

减少搜索·双向搜索 (移一半项到方程右部）

令[【x】表示不大于x的最大整数

计算系数ki(i=1,2 ... 【n/2】)和指数pi(i=1,2 ... 【n/2】)已知的情况下前【n/2】项所有可能出现的和存入一个字典left

计算系数ki(i=【n/2】+1,【n/2】+2 ... n)和指数pi(i=【n/2】+1,【n/2】+2 ... n)已知的情况下后【n/2】项所有可能出现的和存入一个字典right

字典left与字典right中某两记录的值互为相反数时，即得到一个解，解计数变量+1

字典的组织：

尽量降低复杂度

1.二分查找（需排序）

2.HashTable（把和值作为关键码采用除余法）

选择一个适当正整数 p，令h(k)=k%p，h(k)为关键码k的哈希地址

p选取的是比较大的素数，效果比较好

冲突处理：

令哈希表元素个数s

若h(k)已存储其他关键码，则依次探查(h(k)+i)%s(i=1,2,3 … )

到找到未存储关键码的存储单元为止

进一步优化：

将各项中的未知数xi(1 ≤ xi ≤ M，1 ≤ M ≤ 150)取各值时的结果保存到数组中，以避免重复计算

时间复杂度为O(logn)的求次方算法

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