一、实验内容
编程实现：中国剩余定理
要求：1）输入数组n，m[]，b[]，输出结果；
2）不能直接调用现有函数库中函数。
二、实验目标
1. 掌握中国剩余定理的原理及其应用场景。
2. 熟悉使用编程实现中国剩余定理的步骤和算法。
3. 理解模逆元的概念，并通过编程实现模逆元的求解。
三、实验原理
3.2节定理1：中国剩余定理
设m₁, m₂, ..., mₖ是k个两两互素的正整数, 则对任意的整数b₁, b₂, ..., bₖ, 同余式组
一定有解, 且在同余意义下解是唯一的。
- 若令
则同余式组的解可表示为：
其中
即Mᵢ'是Mᵢ的模mᵢ逆元。
四、实验设计
题目：输入数组n，m[]，b[]，由中国剩余定理，输出同余式组的解。
本题的解题思路只需按照中国剩余定理一步步来即可。
首先，由于中国剩余定理需要满足的前提条件是：输入的模m₁, m₂, ..., mₖ是k个两两互素的正整数。因此我们要在获取输入后先进行检查。
检查功能的核心代码如下：
// 计算最大公因数gcd
int gcd(int a, int b){
return (b==0)? a:gcd(b,a%b);
}
// 检查模数是否两两互素
bool areCoprime(const vector<int> &m,int n){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<n;j++){
if(gcd(m[i],m[j])!=1){
return false; // 如果有两个模数不是互素的，立刻返回 false
}
}
}
return true; // 如果所有模数两两互素，返回 true
}我们使用areCoprime判断模数是不是两两互素的，一旦有两个模数不是互素的，就立刻返回false，表示中国剩余定理的前提未满足，无法继续执行；只有当所有模数两两互素时，才返回true，表示前提满足。
在检查完前提后，我们正式开始中国剩余定理的主体部分，编程实现如下：
// 实现中国剩余定理
int chineseRemainder(vector<int> &m,vector<int> &b,int n,int M){
int result=0;
for (int i=0;i<n;i++){
int Mi=M/m[i];
result+=modInverse(Mi,m[i])*Mi*b[i];
}
return result%M;
}参数m[]是存放模数的数组，参数b[]是存放每个同余式方程余数的数组，参数n是同余式组中同余式的个数，参数M即模m₁, m₂, ..., mₖ的乘积。
我们首先定义结果result为0，然后通过循环每次求出一个Mi，并使用公式result+=modInverse(Mi,m[i])*Mi*b[i]来更新result的值。其中，modInverse(Mi,m[i])这个函数求得的即Mi在模m[i]下的逆元Mᵢ'。
在循环结束后，我们返回result取余M的值，即为最终我们需要求的同余式组的解也即本题的答案。
至于逆元的值怎么求，在实验一中我们已经有过了具体分析：
根据1.3节定理5：设a, b是任意两个正整数，则存在整数s和t使得：sa+tb=(a, b)。由此我们知道，对于a和m，则一定存在整数x和y，使得xa+ym=(a, m)。若a在模m下有逆元，此时(a, m)=1，则有xa+ym=1。对于这个式子，根据同余的定义，也就是ax≡1(mod m)。因此，x即为a的逆元，我们只要求出x，并把它标准化到[0, m)范围内即可。
现在，问题转化为了如何求出使得xa+ym=(a, m)的x。显然，利用广义欧几里得算法和1.3节定理3：设a, b, c是三个不全为零的整数。如果a=bq+c，其中q是整数，则有(a, b)=(b, c)，我们可以轻松得到我们需要的值。
编程实现代码如下：
// 使用广义欧几里得算法求出使得ax+my=gcd(a,m)的x和y
void extended_gcd(int a,int m,int &x,int &y){
if (m==0){
x=1;
y=0;
return;
}
int x1,y1;
extended_gcd(m,a%m,x1,y1);
x=y1;
y=x1-(a/m)*y1;
return;
}
// 求a在模m下的逆元
int modInverse(int a,int m){
int x,y,inverse;
extended_gcd(a,m,x,y);
inverse=(x%m+m)%m;
return inverse;
}
在函数modInverse ()中，定义使得xa+ym=(a, m)的x和y以及逆元inverse，然后使用extended_gcd(a,m,x,y)函数进行广义欧几里得算法的处理，这样我们可以得到x的值。然而，算出来的x可能是正数也可能是负数，并且范围也不确定，我们需要把它标准化到[0, m)的范围内。总的操作是inverse=(x%m+m)%m，其分步含义如下：
x%m：这个操作先将x转换成一个在(-m, m)之间的数。如果x是负数，x%m通常会给出一个负的同余结果。
例如，假设x=-3且m=5，则x%m=-3。
x%m+m：这个步骤的目的是确保结果是非负数。我们将x%m加上m，这样无论x%m是什么值，最终结果都会在(0, 2m)之间。
继续上面的例子，x%m+m=-3+5=2。
再次取模(x%m+m)%m：这一步确保结果是一个在[0, m-1]之间的数。如果前面x%m的结果已经是非负数，这个操作不会改变它。如果前面x%m是负数，加上m后，这个操作会确保最终结果在0到m-1之间。
在我们的例子中，(x%m+m)%m=2%5=2。
最终，这个表达式确保了逆元x在[0, m)这个范围内。
// 使用广义欧几里得算法求出使得ax+my=gcd(a,m)的x和y
void extended_gcd(int a,int m,int &x,int &y){
if (m==0){
x=1;
y=0;
return;
}
int x1,y1;
extended_gcd(m,a%m,x1,y1);
x=y1;
y=x1-(a/m)*y1;
return;
}至于extended_gcd()这个函数，它接收两个整数a和m，以及两个引用变量x和y，这两个引用变量将用来存储x和y的值（即：ax+my=gcd(a, m)中的x和y）。首先，在传入a和m后，判断此时的m是否为0，这是递归的基线条件。如果为0，由(a, 0)=a得此时的a就是最大公因数。同时，要设置x=1，y=0，因为此时a×1+m×0=gcd(a, m)。
如果m不为0，则设置x1，y1后继续递归进入extended_gcd函数，函数参数分别为m，a%m，x1，y1。即我们求出m和a%m的最大公因数，并返回相应的x1和y1使得mx1+(a%m)y1=gcd(m, a%m)。
在上面的extended_gcd函数返回后，我们可以通过递归结果更新当前 x 和 y 的值。
我们知道，在递归调用extended_gcd(m, a%m, x1, y1)之后，得到的解满足：
通过欧几里得算法可以写成：
整理上式后得到：
所以，我们可以更新x=y1，y=x1-(a/m)*y1。
当extended_gcd()函数返回后，我们就可以得到需要的x。
本题总的代码如下：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// 计算最大公因数gcd
int gcd(int a, int b){
return (b==0)? a:gcd(b,a%b);
}
// 检查模数是否两两互素
bool areCoprime(const vector<int> &m,int n){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<n;j++){
if(gcd(m[i],m[j])!=1){
return false; // 如果有两个模数不是互素的，立刻返回 false
}
}
}
return true; // 如果所有模数两两互素，返回 true
}
// 使用广义欧几里得算法求出使得ax+my=gcd(a,m)的x和y
void extended_gcd(int a,int m,int &x,int &y){
if (m==0){
x=1;
y=0;
return;
}
int x1,y1;
extended_gcd(m,a%m,x1,y1);
x=y1;
y=x1-(a/m)*y1;
return;
}
// 求a在模m下的逆元
int modInverse(int a,int m){
int x,y,inverse;
extended_gcd(a,m,x,y);
inverse=(x%m+m)%m;
return inverse;
}
// 实现中国剩余定理
int chineseRemainder(vector<int> &m,vector<int> &b,int n,int M){
int result=0;
for (int i=0;i<n;i++){
int Mi=M/m[i];
result+=modInverse(Mi,m[i])*Mi*b[i];
}
return result%M;
}
int main(){
int n;
cout<<"请输入同余式的数量: ";
cin>>n;
vector<int> m(n),b(n);
cout<<"请输入每个同余式的余数b[i]和模数m[i]:\n";
for(int i=0;i<n;i++){
cout<<"b["<<i<<"]: ";
cin>>b[i];
cout<<"m["<<i<<"]: ";
cin>>m[i];
}
// 检查模数是否两两互素
if(!areCoprime(m,n)){
cout<<"错误: 输入的模数不是两两互素的，无法应用中国剩余定理！"<<endl;
return 1;
}
int M=1;
for(int i=0;i<n;i++)
M*=m[i];
int result=chineseRemainder(m,b,n,M);
cout<<"同余式组的解为: X≡"<<result<<"(mod "<<M<<")"<<endl;
return 0;
}
五、实验结果
题目：输入数组n，m[]，b[]，由中国剩余定理，输出同余式组的解。
输入课上韩信点兵的例子：
程序运行结果如下：
可以看到，结果正确。
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