HDU 4992 求一个数的所有原根

最新推荐文章于 2021-10-13 17:10:16 发布

原创最新推荐文章于 2021-10-13 17:10:16 发布 · 2.5k 阅读

4 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#原根 #HDU4992 #HDU #离散对数 #ACM

这是一篇关于求解正整数n的所有原根的博客。内容涉及到原根的定义，包括一个数存在原根的充要条件，以及如何找到最小原根并枚举其他合法原根的方法。文章中还特别提到了在处理合数时需要考虑的特殊情况，并给出了相关的ACM竞赛题目链接和代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题意：给一个正整数 $n (n > = 2)$ ，求她的所有原根，若不存在输出 $- 1$

思路：
由定义1：一个数 $m$ 存在原根的充要条件为： $m=2,4,p^a,2*p^a$ ( $p$ 为奇素数)
可以特判输出 $- 1$ 的情况。

又由定义2：若 $G$ 为 $n$ 的原根，则当 $gcd(i,\varphi(n)) == 1$ ， $G^i$ 也为 $n$ 的原根
可以通过先求出 $n$ 的最小原根，来枚举得到其他的合法原根。

对于求一个数的最小原根就是一个很基础的问题了，此处需要注意的是 $n$ 可能是合数，则 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 (mod \ n)$ 当 $\neq 1$ 不成立，故需要提前特判。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int A = 1e6 + 10;
int pri[A],phi[A],ans[A],q[A],n,tot;
bool vis[A];

int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a;}
void init(){
    tot = 0;phi[1] = 1;
    for(int i=2 ;i<A ;i++){
        if(!vis[i]){pri[++tot] = i;phi[i] = i-1;}
        for(int j=1 ;j<=tot&&i*pri[j]<A ;j++){
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j] == 0){
                phi[i*pri[j]] = pri[j] * phi[i];break;
            }
            phi[i*pri[j]] = phi[pri[j]] * phi[i];
        }
    }
}

ll fast_pow(ll a,ll b){
    ll res = 1;
    while(b){
        if(b&1) res = res*a%n;
        a = a*a%n;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int get_G(){
    int t = 0,tem = phi[n];
    for(int i=1 ;i<=tot && pri[i]*pri[i]<=tem ;i++){
        if(tem%pri[i] == 0){
            q[++t] = pri[i];
            while(tem%pri[i]==0) tem/=pri[i];
        }
    }
    if(tem>1) q[++t] = tem;
    for(int i=2;i<n;i++){
        if(gcd(i,n) != 1) continue;
        bool flag = 0;
        for(int j=1 ;j<=t ;j++) if(fast_pow(i,phi[n]/q[j]) == 1) {flag=1;break;}
        if(!flag) return i;
    }
    return -1;
}

bool check(int n){
    if(n==2 || n==4) return true;
    if(n%2 == 0)     n >>= 1;
    for(int i=2 ;pri[i]<=n ;i++){
        if(n%pri[i] == 0){
            while(n%pri[i] == 0)n/=pri[i];
            return n==1?true:false;
        }
    }
    return false;
}

void solve(){
    if(!check(n)) {puts("-1");return;}
    if(n == 2)    {puts("1");return;}
    int G = get_G();
    int twt = 0;
    for(int i=1,k=G ;i<phi[n] ;i++){
        if(gcd(i,phi[n]) == 1){
            ans[++twt] = k;
        }
        k = 1LL*k*G%n;
    }
    sort(ans+1,ans+1+twt);
    for(int i=1 ;i<=twt ;i++) printf("%d%c",ans[i],i==twt?'\n':' ');
}

int main(){
    init();
    while(~scanf("%d",&n)){
        solve();
    }
    return 0;
}