[51nod 1297]管理二叉树

最新推荐文章于 2021-07-17 18:41:42 发布

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本文介绍了一种在线性时间内构建二叉搜索树的方法，并通过点分治算法计算节点间距离和。适用于处理大规模数据集，实现高效查询。

题目大意

给定一个n的排列，用它建出二叉搜索树。输出每次插入后所有节点两两之间距离和。

n≤100000

分析

考虑离线做。

首先把这棵树建出来。建树可以O(n)，具体点：可以发现，插入一个值x时，它一定是之前已经插入的数中，和它相邻的两个数中后插入的数值儿子。
比如：4 7 3 1 8 2 6 5。1是3的左儿子，2是1的右儿子，6是8的左儿子。

建出树之后，把排列中的数按顺序放进来。假设知道了前i-1个数的答案，现在要求前i个答案，只要加上i到其它所有节点的距离和。
那么可以用点分治做。具体就不说了。

时间复杂度 $O(nlogn)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N=100005,Log=18;

typedef long long LL;

int n,e[N][3],m,a[N],f1[N],f2[N],cnt[N],son_cnt[N][3],rmq[N*2][Log],tot,la[N],dep[N],fa[N],dfn[N],size[N],ap[N];

int s[N],R,V;

LL dis[N],son_dis[N][3],ans;

bool bz[N];

char c;

int read()
{
    for (c=getchar();c<'0' || c>'9';c=getchar());
    int x=c-48;
    for (c=getchar();c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-48;
    return x;
}

int get(int x,int *f)
{
    if (f[x]==-1) return x;
    return f[x]=get(f[x],f);
}

void init(int x)
{
    dep[x]=dep[e[x][0]]+1;
    dfn[x]=++m;
    rmq[la[x]=tot++][0]=x;
    for (int i=1;i<3;i++) if (e[x][i])
    {
        init(e[x][i]); rmq[la[x]=tot++][0]=x; size[x]+=size[e[x][i]]+1;
    }
}

void find(int x,int y)
{
    int M=0;
    s[x]=1;
    for (int i=0;i<3;i++) if (!bz[e[x][i]] && e[x][i]!=y)
    {
        find(e[x][i],x);
        s[x]+=s[e[x][i]];
        M=max(M,s[e[x][i]]);
    }
    M=max(M,m-s[x]);
    if (M<V)
    {
        V=M; R=x;
    }
}

int dfs(int x)
{
    V=m;
    find(x,0);
    int r=R,sum=m;
    bz[r]=1;
    for (int i=0;i<3;i++) if (!bz[e[r][i]])
    {
        m=(s[e[r][i]]<s[r])?s[e[r][i]]:sum-s[r];
        fa[dfs(e[r][i])]=r;
    }
    return r;
}

int getlca(int x,int y)
{
    x=la[x]; y=la[y];
    if (x>y) x^=y^=x^=y;
    int k=trunc(log(y-x+1)/log(2));
    return (dep[rmq[x][k]]<=dep[rmq[y-(1<<k)+1][k]])?rmq[x][k]:rmq[y-(1<<k)+1][k];
}

int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=read(); ap[a[i]]=i;
    }
    memset(f1,255,sizeof(f1));
    memset(f2,255,sizeof(f2));
    for (int i=n;i>1;i--)
    {
        int x=a[i];
        f1[x]=x-1; f2[x]=x+1;
        int l=get(x,f1),r=get(x,f2);
        if (ap[l]>ap[r])
        {
            e[x][0]=l; e[l][(l<x)+1]=x;
        }else
        {
            e[x][0]=r; e[r][(r<x)+1]=x;
        }
    }
    init(a[1]);
    for (int j=1;j<Log;j++)
        for (int i=0;i<=tot-(1<<j);i++)
            rmq[i][j]=(dep[rmq[i][j-1]]<=dep[rmq[i+(1<<(j-1))][j-1]])?rmq[i][j-1]:rmq[i+(1<<(j-1))][j-1];
    m=n; bz[0]=1;
    fa[dfs(a[1])]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=dis[a[i]];
        cnt[a[i]]++;
        for (int j=fa[a[i]];j;j=fa[j])
        {
            int t,d=dep[a[i]]+dep[j]-2*dep[getlca(a[i],j)];
            if (dfn[a[i]]<dfn[j] || dfn[j]+size[j]<dfn[a[i]]) t=0;
            else if (e[j][1]>0 && dfn[a[i]]<=dfn[e[j][1]]+size[e[j][1]]) t=1;else t=2;
            ans+=dis[j]-son_dis[j][t]+(LL)(cnt[j]-son_cnt[j][t])*d;
            cnt[j]++; son_cnt[j][t]++; dis[j]+=d; son_dis[j][t]+=d;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}