51nod 1260 排列与二叉树

题意

考虑这样的二叉树：

1. 每个内部节点同时有左儿子和右儿子
2. 恰好有 $n$ 个叶子

对任意满足上述条件的二叉树，我们按照中序遍历把每个叶子分别标上 $1$~$n$，接下来，你可以任意交换每个内部节点的左右子树。之后，中序遍历这棵树，把每个叶子的标号按照访问到它的时间写下来形成一个 $1$~$n$ 的排列。

求所有这样的二叉树经过任意交换后可以得到的不同的排列的个数。

约定：$n\leq 10^6$

初步分析

考虑任意一个符合条件的二叉树，我们把它的每个内部节点染上黑白两色之一，然后交换所有黑色节点的左右子树，就可以得到一个符合条件的排列。

这样不会重复计数？

废话这样当然会重复计数。。。

考虑如果存在两个相邻的节点被染上同一种颜色（自行脑补吧……）那么你可以像旋转平衡树一样把它们转一下，得到一个形态不同的二叉树，对这个新的二叉树按照染色进行变换，可以得到一个和原树变换后相同的排列。

但是这些方案你总不能不计吧？

考虑最小表示法的思想，我们规定每个点不能和它的左儿子（如果有的话）染上同样的颜色，否则的话可以把树“右旋”一下使得两个颜色相同的点变成父亲-右儿子的形式。这样就可以不重不漏的计数了。

证明了吗？

关于这个做法我脑补了一个长而且麻烦的证法…太啰嗦了这里写不下（害怕是错的被hack)。不过事实证明这样的方法是 work 的。

那么初步分析就完成了，我们有已经大概的思路辣！

推导

考虑二叉树的 $n-1$ 个内部节点，显然只有那些左孩子为叶子的点可以自由染色，其他点的颜色已经被限制了（要求和左孩子颜色相反），设有 $m$ 个点的左孩子为叶子，那么对这个树染色有 $2^m$ 种方案。

考虑把所有叶子节点剥去，那么可以自由染色的点就是所有没有左孩子的点，我们设$h_n$表示有 $n$ 个节点的各种形态的二叉树的不同染色方案的和。

$h_n$ 的递推关系与生成函数:

首先边界条件为 $h_0=1$。

枚举根节点的左右子树大小，可以得到这样的关系式（注意没有左孩子时候根节点可以自由染色）：

$$\begin{align} h_n&=\sum_{i=1}^{n-1}h_i\cdot h_{n-i-1}+2h_{n-1}\\ &=\sum_{i=0}^{n-1}{h_i\cdot h_{n-i-1}}+h_{n-1}\\ \end{align}$$

看着这个递推式就能让人想起Catalan数列。回忆一下，Catalan数的生成函数是怎么推的来着？

设 $h_n$ 的生成函数为 $F(x)$，那么我们有：

$$\left(F^2(x)+F(x)\right)\cdot x + 1 = F(x)$$

解之，可得：

$$F(x)=\frac{1-x\pm \sqrt{x^2-6x+1}}{2x}$$

考虑 $x\rightarrow 0$时，应该有 $F(x)\rightarrow 1$，所以分子上的 ‘$\pm$’ 应该取负号，即：

$$F(x)=\frac{1-x- \sqrt{x^2-6x+1}}{2x}$$

然后…然后我想了好久这个能不能快速算出前 $n$ 项，想了好久的结论是：不可做我还太弱了不会，不过由于只有一组询问，所以我们用广义二项式定理把 $\left(x^2-6x+1\right)^{\frac 1 2}$ 展开，暴力算出第 $n$ 项还是很资瓷的！

$O(n)$ 计算特定项系数

对于给定的询问 $n$，因为有 $n-1$ 个内部节点，所以应该算出来 $F(x)$ 的 $x^{n-1}$ 的系数。

首先特判掉 $n=1$ 的情况。

考虑因为分母上有个 $x$，所以我们应该算出 $\left(x^2-6x+1\right)^{\frac 1 2}$ 的第 $x^{(n-1)+1}$ 项系数，然后除以 $2$。

对根号进行二项式展开：

$$\left(x^2-6x+1\right)^{\frac 1 2}=\sum_{i=0}^{\infty}(x^2-6x)^i\cdot \binom{\frac 1 2}{i}$$

考虑展开之后每一项对 $x^n$ 的贡献，我们枚举乘了 $i$ 个 $x^2$，那么有 $n-2i$ 个 $x$ 来自 $-6x$，这一项来自 $(x^2-6x)^{n-i}$ ，不难计算它对答案的贡献为：

$$(-6)^{n-2i}\times \binom{\frac 1 2}{n-i}\times \binom{n-i}{i}$$

所以有：

$$ans=-\frac 1 2\sum_{i=0}^{\left\lfloor\frac n 2\right\rfloor}(-6)^{n-2i}\times \binom{\frac 1 2}{n-i}\times \binom{n-i}{i}$$

做完辣！最后这个式子真是简(hui)洁(se)优(nan)雅(dong)呀！

什么？你问我 $\binom{\frac 1 2}{n-i}$ 怎么算？

答曰：暴力算：

$$\binom{\frac 1 2}{k}=\frac{\frac 1 2\times \left(-\frac 1 2\right)\times\dots\times\left(\frac 1 2-k+1\right)}{k!}$$

按这个递推就行了。