【图】图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成。
通常表示为：$G(V,\{E\})$，其中，G 表示一个图，V 是图 G 中顶点的结合，E 是图 G 中边的集合。

各种图定义

无向边：若顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge）。用无序偶对 $(v_i,v_j)$ 来表示。
无向图：图中任意两个顶点之间的边都是无向边。

对于下图中的无向图，$G_1=(V_1,\{E_1\})$，其中顶点集合 $V_1=\{A,B,C,D\}$；边集合 $E_1=\{(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(D,C)\}$。由于无方向，顶点 $A$ 与 $D$ 的边，可以写成无序对 $(A,D)$，也可以写成 $(D,A)$。

有向边：若从顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）。用有序偶对 来表示，$v_i$ 称为弧尾（Tail），$v_j$ 称为弧头（Head）。
有向图：任意两个顶点之间的边都是有向边。

对于下图中的有向图，$G_2=(V_2,\{E_2\})$，其中顶点集合 $V_2=\{A,B,C,D\}$；边集合 $E_2=\{<A,D>,<B,A>,<B,C>,<C,A>\}$。由于有方向，连接顶点 $A$ 到 $D$ 的有向边就是弧，$A$ 是弧尾，$D$ 是弧头，表示弧，注意不能写成 。

简单图：不存在顶点到自身的边，且同一条边不重复出现。

无向完全图：任意两个顶点之间都存在边。 含有 $n$ 个顶点的无向完全图有 $\frac{n\times(n-1)}{2}$ 条边。
有向完全图：任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧。 含有 $n$ 个顶点的有向完全图有 $n\times(n-1)$ 条边。

稀疏图：有很少条边或弧的图。反之称为稠密图。

权（Weight）：与图的边或弧相关的数。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。
网（Network）：带权的图。

假设有两个图 $G=(V,{E})$ 和 $G'=(V',{E'})$，如果 $V'\subseteq V$ 且 $E'\subseteq E$，则称 $G'$ 为 $G$ 的子图（Subgraph）。

图的顶点与边间的关系

无向图$G=(V,\{E\})$

邻接点（Adjacent）：如果边 $(v,v')\epsilon E$，则称顶点 $v$ 和 $v'$ 互为邻接点，即 $v$ 和 $v'$ 相邻接。
度（Degree）：顶点 $v$ 的度是和 $v$ 相关联的边的数目，记为 $TD(v)$。
边：边数为各顶点度数和的一半：$e=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}TD(v_i)$。

有向图$G=(V,\{E\})$

邻接：如果弧 ，则称顶点 $v$ 邻接到顶点 $v'$，顶点 $v'$ 邻接自顶点 $v$。
入度（InDegree）：以顶点 $v$ 为头的弧的数目称为 $v$ 的入度，记为 $ID(v)$。
出度（OutDegree）：以顶点 $v$ 为尾的弧的数目称为 $v$ 的出度，记为 $OD(v)$。
度：顶点 $v$ 的度为 $TD(v)=ID(v)+OD(v)$。
边：边数为各顶点的入度和或出度和。$e=\sum_{i=1}^{n}ID(v_i)=\sum_{i=1}^{n}OD(v_i)$。

路径

树中根结点到任意结点的路径是唯一的，但是图中顶点与顶点之间的路径不唯一。
路径的长度：路径上的边或弧的数目。
回路或环（Cycle）：第一个顶点到最后一个顶点相同的路径。
简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
简单回路或简单环：除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路。

连通图相关术语

无向图

连通：在无向图 $G$ 中，从顶点 $v$ 到顶点 $v'$ 有路径，则称 $v$ 和 $v'$ 是连通的。
连通图：图中任意两个顶点 $v_i,v_j \epsilon V$，$v_i$ 和 $v_j$ 都是连通的。
连通分量：无向图中的极大连通子图。

注意，连通分量强调：
1、要是子图；
2、子图要是连通的；
3、连通子图含有极大顶点数；
4、具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

上图为一个无向非连通图。但它有两个连通分量。

下图尽管是上面无向非连通图的子图，但不满足连通子图的极大顶点数，因此它不是其连通分量。

有向图

强连通图：在有向图 $G$ 中，对于每一对 $v_i,v_j \epsilon V、v_i \neq v_j$，从 $v_i$ 到 $v_j$ 都存在路径。
有向图的强连通分量：有向图中的极大强连通子图。

生成树

1、一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的 $n$ 个顶点，但只有足以构成一棵树的 $n-1$ 条边。
2、如果一个有向图恰有一个顶点的入度为 $0$，其余顶点的入度均为 $1$，则是一棵有向树。
3、一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。