7.1图的基本概念

7.1图的基本概念

一、图的定义

图(Graph)是一种网状数据结构，其形式化定义如下：

Graph=（V，R） 
V={x∣x∈DataObject} 
R={VR} 
VR={<x，y>∣P（x，y）∧（x，y∈V）} 

DataObject为一个集合，该集合中的所有元素具有相同的特性。
V 中的数据元素通常称为顶点（vertex）， VR 是两个顶点之间的关系的集合。P（x，y）表示 x 和 y 之间有特定的关联属性 P。

• 若<x，y>∈VR，则<x，y>表示从顶点 x 到顶点 y 的一条弧（arc），并称 x 为 弧尾（tail）或起始点，称 y 为弧头（head）或终端点，此时图中的边是有方向的，称这样的图为有向图。
• 若<x，y>∈VR，必有<y，x>∈VR，即 VR 是对称关系，这时以无序对（x，y） 来代替两个有序对，表示 x 和 y 之间的一条边（Edge），此时的图称为无向图。
  

所谓的“顶点在图中的位置”是指该顶点在这个人为的随意排列中的位置序 号。同理，也可以对某个顶点的邻接点进行人为的排序，在这个序列中，自然形成了第 1 个和第 k 个邻接点，并称第 k+1 个邻接点是第 k 个邻接点的下一个邻接点，而最后一个邻接点的下一个邻接点为“空”。

下面给出图的抽象数据类型定义:
ADT Graph
数据对象 V： 一个集合，该集合中的所有元素具有相同的特性。
数据关系 R： R={VR} VR={<x，y>∣P（x，y）∧（x，y∈V）}
基本操作：

• （1）CreateGraph（G）
  操作前提：已知图 G 不存在
  操作结果：创建图 G。
• （2）DestoryGraph（G）
  操作前提：已知图 G 存在；
  操作结果：销毁图 G。
• （3）LocateVertex（G，v）
  操作前提：已知图 G 存在，顶点 v 值合法；
  操作结果：若图 G 中存在顶点 v，则返回顶点 v 在图 G 中的位置。若图 G 中没有顶点 v，则函数返回值为“空”。
• （4）GetVertex（G，i）
  操作前提：已知图 G 存在；
  操作结果：返回图 G 中的第 i 个顶点的值。若 i 大于图 G 中顶点数，则函 数返回值为“空”。
• （5）FirstAdjVertex（G，v）
  操作前提：已知图 G 存在，顶点 v 值合法；
  操作结果：返回图 G 中顶点 v 的第一个邻接点。若 v 无邻接点或图 G 中无 顶点 v，则函数返回值为“空”。
• （6）NextAdjVertex（G，v，w）
  操作前提：已知图 G 存在，w 是图 G 中顶点 v 的某个邻接点。
  操作结果：返回顶点 v 的下一个邻接点（紧跟在 w 后面）。若 w 是 v 的最 后一个邻接点，则函数返回值为“空”。
• （7）InsertVertex（G，u）
  操作前提：已知图 G 存在，u 值合法；
  操作结果：在图 G 中增加一个顶点 u。
• （8）DeleteVertex（G，v）
  操作前提：已知图 G 存在，v 值合法；
  操作结果：删除图 G 的顶点 v 及与顶点 v 相关联的弧。
• （9）InsertArc（G，v，w）
  操作前提：已知图 G 存在，v 值、w 值合法；
  操作结果：在图 G 中增加一条从顶点 v 到顶点 w 的弧。
• （10）DeleteArc（G，v，w）
  操作前提：已知图 G 存在，v 值、w 值合法，存在弧(v,w) ；
  操作结果：删除图 G 中从顶点 v 到顶点 w 的弧。
• （11）TraverseGraph（G）
  操作前提：已知图 G 存在；
  操作结果：按照某种次序，对图 G 的每个顶点访问一次且仅访问一次。

二、基本术语

（1）完全图、稀疏图与稠密图

设 n 表示图中顶点的个数，用 e 表示图中边或弧的数目，并且不考虑图中每 个顶点到其自身的边或弧。即若<vi，vj>∈VR，则 vi≠vj。
对于无向图而言，其边 数 e 的取值范围是 0~n（n-1）/2。有 n（n-1）/2 条边（图中每个顶点和其余 n-1 个顶点都有边相连）的无向图为无向完全图。
对于有向图而言，其边数 e 的取值 范围是 0~n（n-1）。有 n（n-1）条边（图中每个顶点和其余 n-1 个顶点都有弧相连）的有向图为有向完全图。对于有很少条边的图（e < n log n）称为稀疏图， 反之称为稠密图。

（2）子图

（3）邻接点

对于无向图 G=（V，{E}），如果边（v，v/）∈E，则称顶点 v，v/互为邻接点， 即 v，v/ 相邻接。边（v，v/）依附于顶点 v 和 v/，或者说边（v，v/）与顶点 v 和 v/ 相关联。对于有向图 G=（V，{A}）而言，若弧<v，v/>∈A，则称顶点 v 邻接到 顶点 v/，顶点 v/ 邻接自顶点 v，或者说弧<v，v/>与顶点 v，v/相关联。

（4）度、入度和出度

对于无向图而言，顶点 v 的度是指和 v 相关联边的数目，记作 TD（v）。例 如：上面图 G2 中顶点 C 的度是 3，A 的度是 2；在有向图中顶点 v 的度有出度和 入度两部分，其中以顶点 v 为弧头的弧的数目成为该顶点的入度，记作 ID（v）， 以顶点 v 为弧尾的弧的数目称为该顶点的出度，记作 OD（v）,则顶点 v 的度为 TD（v）= ID（v）+ OD（v）。

例如：上面图 G1 中顶点 A 的入度是 ID(A)=1，出度 OD(A)=2,顶点 A 的度 TD(A)= ID(A)+ OD(A)=3。一般地，若图 G 中有 n 个顶点，e 条边或弧，则图中顶点的度与边的关系如下：

（5）权与网

在实际应用中，图的边或弧上往往与具有一定意义的数有关，即每一条边都 有与它相关的数，称为权，这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费等信息。这种带权的图称为赋权图或网，如下图所示。

（6）路径与回路

无向图 G=（V，{E}）中从顶点 v 到 v/的路径是一个顶点序列 vi 0， vi1， vi2，…， vin，其中（vij-1，vij）∈E，1≤j≤n。如果图 G 是有向图，则路径也是有向的， 顶点序列应满足<vij-1，vij>∈A，1≤j≤n。路径的长度是指路径上经过的弧或边 的数目。在一个路径中，若其第一个顶点和最后一个顶点是相同的即 v =v/，则 称该路径为一个回路或环。
若表示路径的顶点序列中的顶点各不相同，则称这样 的路径为简单路径。
除了第一个和最后一个顶点外，其余各顶点均不重复出现的回路为简单回路。如下图（a），（ b）所示。

（7）连通图

在无向图 G=（V，{E}）中，若从 vi到 vj有路径相通，则称顶点 vi与 vj是连 通的。如果对于图中的任意两个顶点 vi、vj∈V，vi，vj都是连通的，则称该无向 图 G 为连通图。例如：G2 就是连通图。无向图中的极大连通子图称为该无向图的连通分量。在有向图 G=（V，{A}）中，若对于每对顶点 vi、vj∈V 且 vi≠vj， 从 vi 到 vj和 vj到 vi都有路径，则称该有向图为强连通图。有向图的极大强连通 子图称做有向图的强连通分量，图 G1 的强连通分量如下图（c）所示。一个连通 图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以连通 n 个点 的 n-1 条边。